Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Алтайский государственный технический университет

им. И.И. Ползунова»

E.Г. Никифорова

Методы принятия управленческих решений

Методические указания к выполнению расчетного задания для направления ГМУ

Барнаул – 2013

УДК 519.852 (075.8)

Е.Г. Никифорова Методы принятия управленческих решений: Методические указания к выполнению расчетного задания. – Алт. гос. техн. ун-т им. И.И. Ползунова. – Барнаул: АлтГТУ, 2012. – 76 с.

Содержание пособия соответствует государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования по экономическим специальностям. В пособии рассматриваются вопросы построения математических моделей производственных задач, симплекс-метод, модель межотраслевой экономики Леонтьева, модели финансового рынка ценных бумаг.

В пособии приведены подробно разобранные примеры и варианты заданий для индивидуальной работы.

Пособие предназначено для студентов направления ГМУ.

Рекомендовано к изданию кафедрой высшей математики АлтГТУ

.

Содержание

1. Задача планирования производства 4

2. Задача о смесях 5

3. Задача о распределении производства 9

4. Задача о раскрое 10

Симплекс-метод решения задач линейного программирования 14

Реализация симплекс-метода на компьютере 22

Взаимно двойственные задачи линейного программирования 28

Алгоритм построения взаимно-двойственных задач 28

35

Действительно, выражение в левой части -го неравенства есть сумма от продажи ресурсов, идущих на изготовление j -го изделия, в правой части – прибыль от продажи единицы j-го изделия:   35

Таким образом, двойственная соответствует следующей экономической проблеме: по каким минимальным ценам следует продавать ресурсы, чтобы прибыль от их реализации была больше прибыли, полученной от реализации продукции, изготавливаемой с использованием этих ресурсов. 36

Значения переменных  называют теневыми ценами. Они показывают, насколько увеличится максимальная прибыль, при увеличении запасов соответствующего ресурса на единицу. 36

Экономическая интерпретация ограничений двойственной задачи. 37

7.4   Экономическая интерпретация теорем двойственности 38

7.5 Исследование моделей задач ЛП на чувствительность. 40

http://www.snipetz.com/math/sysanalysys/line/07.htm 41

Специальные виды задач линейного программирования 41

Транспортная задача 41

Задача о назначениях 49

Венгерский метод решения задачи о назначениях 50

Решение задачи в процедуре EXCEL 53

Задача коммивояжера 56

Решение задачи коммивояжера при помощи надстройки MS Excel «Поиск решения» 57

Экономико-математическая модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева). 62

Решение задачи межотраслевого баланса (модель Леонтьева)средствами Excel. 71

Механизм принятия решений на рынке ценных бумаг 77

Экспоненциальная скользящая средняя. 81

Некоторые осцилляторы 89

Стахостические линии. 99

Управление проектами 112

Задания для самостоятельной работы 117

Построение математических моделей производственных задач

В настоящее время экономист должен иметь представление о математическом аппарате решения экономических задач, уметь математически грамотно сформулировать задачу, понимать технику расчетов. В данном разделе приводятся содержательные примеры, иллюстрирующие приемы математического моделирования конкретных экономических ситуаций. В реальной ситуации из полученной математической модели требуется получить конкретные практические рекомендации. Способы получения такой информации (решение задачи) с последующим экономико-математическим анализом полученных результатов рассматриваются в следующих разделах пособия.

1. Задача планирования производства

Пример 1. Оптимизация плана производства (Сколько производить?)

Предприятие изготавливает два вида изделий, использую три вид сырья. Нормы расхода сырья на производство единицы продукции каждого вида, запасы сырья и прибыль от реализации одной единицы продукции указаны в следующей таблице:

Вид сырья	Нормы расхода сырья на единицу продукции		Запас сырья
	1-го вида	2-го вида
	3	5	120
	14	12	400
Прибыль от реализации единицы продукции	30	35

Решение. Пусть х₁ — объем выпуска продукта 1, х₂ — объем выпуска продукта 2. Тогда задача может быть опи­сана в виде следующей модели линейного программирования:

Пример 2. Производить или покупать?

определения плана произ­водства для случая, когда закупка готовой продукции для последующей реализации может оказать­ся для производителя предпочтительнее, чем использование собственных мощностей

Предприятие по контракту должно изготовить два вида изделий в определенных количествах, используя три вид сырья. Нормы расхода сырья на производство единицы продукции каждого вида, запасы сырья и прибыль от реализации одной единицы продукции указаны в следующей таблице:

Вид сырья	Нормы расхода сырья на единицу продукции		Запас сырья
	1-го вида	2-го вида
	3	5	20
	14	12	42
Стоимость изготовления изделия	35	45
Стоимость покупки изделия	56	66
Обязательства поставок	100	120

Из-за ограничений на запасы сырья предприятие не может выполнить обязатель­ства по контракту. Выход заключается в следующем: фирма долж­на купить какое-то количество изделий у других производителей, чтобы использовать эти закупки для выполнения контракта. В таблица приводятся соответствующие затраты

Цель состоит в том, чтобы обеспечить выполнение кон­тракта с минимальными издержками. Другими словами, нужно принять решение: сколько изделий каждого вида производить у себя, а сколько — закупать со стороны для того, чтобы выполнить контракт с ми­нимальными издержками.

Решение. Введем обозначения:

x₁ — количество изделий 1, производимого предприятием;

z₁ — количество изделий 1, закупаемого предприятием;

x₂ — количество изделий 2, производимого предприятием;

z₂ — количество изделий 2, закупаемого предприятием.

Модель линейного программирования выглядит следующим образом:

- целевая функция

Ограничения на спрос:

Ограничения по запасам сырья:

2. Задача о смесях

Введем обозначения:

п — количество исходных ингредиентов;

т — количество компонентов в смеси;

х_j — количество j-го ингредиента, входящего в смесь;

а_ij —количество i-го компонента в j-м ингредиенте;

с_j —стоимость единицы j-го ингредиента;

b_i — количество i-го компонента в смеси.

Модель А:

Здесь (1) — целевая функция (минимум затрат на получение смеси);

(2)— группа ограничений, определяющих содержание ком­понентов в смеси;

(3) — ограничения на неотрицательность переменных.

Пример 1. Производится кормление различными видами кормов, включающих известные ингредиенты (витамины, питательные вещества и т.п.). Пусть готовится два вида кормов, включающих витамины . Нормы потребления различных видов витаминов одним животным указаны в таблице:

Вид витамина	Необходимый минимум содержания витаминов	Нормы расхода витаминов на 1 кг корма
		1-го вида	2-го вида
	9	3	1
	8	1	2
	12	1	6

Стоимость одного килограмма корма 1-го вида 4 руб., 2-го вида – 6 руб. Составить суточный рацион с минимальной стоимостью и с содержанием витаминов не менее требуемого минимума.

Построим экономико-математическую модель задачи. Обозначим - количество кормов 1-го и 2-го вида. Требования по содержанию витаминов:

(1.1).

По смыслу задачи (1.2).

Пусть - общая стоимость всего рациона.

В задаче могут присутствовать также ограничения на общий объем смеси и ограничения на количество используемых ингре­диентов.

Введем обозначения:

п — количество исходных ингредиентов;

т — количество компонентов в смеси;

w — количество условий, отражающих содержание j-го ингре­диента в смеси;

х_j — количество j-го ингредиента, входящего в смесь;

а_ij — доля j-го компонента в j-м ингредиенте;

b_i — минимально допустимая доля i-го компонента в смеси;

с_j — стоимость единицы j-го ингредиента;

d_rj — коэффициент, отражающий r-е условие на содержание j-го ингредиента в смеси.

Модель В:

Здесь (4) — целевая функция (минимум затрат на получение смеси);

(5) — группа ограничений, определяющих содержание компонентов в смеси;

(6) — группа ограничении на содержание ингредиентов в смеси;

(7) — ограничение на количество смеси;

(8) — ограничения на неотрицательность переменных.

Ограничения (5) и (6) отличают задачу смешения от задачи оптимального планирования производства. Заметим, что значения правых частей этих ограничений равны нулю.

Вектор х* с компо­нентами, являющийся решением этой оптимизационной зада­чи, называют рецептом приготовления смеси или рецептом сме­шения.

Пример 2.

Сочинский винзавод производит две марки сухого вина: «Чер­ный лекарь» и «Букет роз». Оптовые цены, по которым реализу­ется готовая продукция, соответственно 68 и 57 руб. за литр. Ин­гредиентами для приготовления этих вин являются белое, розо­вое и красное сухие вина, закупаемые в Краснодаре. Эти вина стоят соответственно 70, 50 и 40 руб. за литр. В среднем на со­чинский винзавод поставляется ежедневно 2000 л белого, 2500 л розового и 1200л красного вина.

В вине «Черный лекарь» должно содержаться не менее 60% белого вина и не более 20% красного. Вино «Букет роз» должно содержать не более 60% красного и не менее 15% белого.

Определите рецепты смешения ингредиентов для производства вин «Черный лекарь» и «Букет роз», обеспечивающие заводу мак­симальную прибыль.

Решение. Пусть x_kj — количество j-го ингредиента (j = 1, 2, 3), входящего в k-ю смесь (k = 1, 2). Например, x₂₃ — количество красного вина, ежедневно используемого для приготовления вина «Букет роз». Тогда модель оптимального смешения имеет следу­ющий вид.

Критерий максимизации прибыли:

(68 - 70)х₁₁ + (68 - 50)x₁₂ + (68 - 40)x₁₃ + (57 - 70)x₂₁ + + (57 - 50)x₂₂ + (57 - 40)x₂₂ ® max.

Ограничения на поставки ингредиентов:

Ограничения, отражающие условия на содержание ингредиен­тов в смеси:

В многопродуктовых задачах ингредиенты используют­ся для приготовления не одной, а нескольких смесей. При этом в качестве переменной x_kj, такой задачи рассматривается количество ингредиента j, используемое для приготовления смеси k. Крите­рий задачи — максимизация прибыли.

Введем обозначения:

п — количество исходных ингредиентов;

т — количество компонентов в смеси;

w — количество условий, отражающих содержание j-го ингре­диента в смеси;

s — количество смесей;

х_kj — количество j-го ингредиента, входящего в k-ю смесь;

а_ij — доля i-го компонента в j-м ингредиенте;

b_ik — минимально допустимая доля i-го компонента в k-й смеси;

с_j — стоимость единицы j-го ингредиента;

р_k — стоимость единицы k-й смеси;

d_rkj — коэффициент, отражающий r-е условие на содержание j-го ингредиента в k-й смеси;

и_j — количество имеющегося j-го ингредиента.

Модель С:

Здесь (9) — целевая функция (максимум прибыли);

(10) — группа ограничений, определяющих содержание компонентов в смеси;

(11) — группа ограничений на содержание ингредиентов в смеси;

(12) — ограничения на количество ингредиентов;

(13)— ограничения на неотрицательность переменных.