Пример выполнения домашнего задания.

Задача 1. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону х=А+Вt+Сt² , где А=10 рад; В= 20 рад/с; С=2 рад/с². Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r= 0.1 м от оси вращения для момента времени t= 4 с.

Р ешение: Полное ускорение а точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения а_, направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения а_n, направленного к центру кривизны траектории (рис 1): а=а_+а_n.

Так как векторы а_ иа_n взаимно перпендикулярны, то абсолютное значение ускорения: .

Тангенциальное и нормальное ускорение точки, вращающегося тела выражаются формулами: a_=r и a_n=²r, где - угловая скорость тела; - его угловое ускорение.

Подставляем выражения для а_ и а_n в формулу, получим

Угловую скорость  найдем взяв производную от угла поворота по времени: = =В+2Сt, или в момент времени t=4 с угловая скорость:

=[20+2(-2)4] = 4 рад/с.

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени: = =2С=-4 рад/с².

Это выражение не содержит времени; следовательно, угловое ускорение заданного движения постоянно. Подставляя найденные значения ,  и заданное значение r в полученную формулу, получим: м/с².

З адача 2. Ящик массой m₁=20 кг соскальзывает по идеально гладкому лотку длиной l=2 м на неподвижную тележку с песком и застревает в нем. Тележка с песком массой m₂=80 кг может свободно (без трения) перемещаться по рельсам в горизонтальном направлении. Определить скорость u тележки с ящиком, если лоток наклонен под углом =30 к рельсам.

Решение: Тележку и ящик можно рассматривать как систему двух неупругих взаимодействующих тел. Но эта система не замкнута, так как сумма внешних сил, действующая на систему: двух сил тяжести m_1g и m_2g и силы реакции N₂ не равна нулю. Поэтому применять закон сохранения импульса к системе ящик- тележка нельзя.

Но так как проекция суммы указанных сил на направление оси х, совпадающей с направлением рельсов, равна нулю, то составляющую импульса системы в этом направлении можно считать постоянной, т.е. р_1х+ р_2х= , где р_1х и р_2х- проекции импульса ящика и тележки с песком в момент падения ящика на тележку; а -те же величины после падения ящика.

Выразив в этом равенстве импульсы тел через их массы и скорости, учитывая, что р_2х=0 (тележка до взаимодействия покоилась), а также что после взаимодействия оба тела системы движутся с одной и той же скоростью u:

m₁v_1x=(m₁+m₂)u, или m₁v₁cos=(m₁+m₂)u, где v₁- скорость ящика перед падением на тележку; v_1x=v₁cos- проекция этой скорости на ось x.

Отсюда выразим искомую скорость:

Скорость v₁ определим из закона сохранения энергии: , где h=lsin.. После сокращений на m₁ найдем: .

Подставив найденное значение v₁ в формулу для нахождения u получим:

cos

Подставив сюда числовые значения величин и произведя вычисления получим:

=0.767 м/с

Задача 3. На спокойной воде пруда перпендикулярно берегу и носом к нему стоит лодка массой М и длиной L. На корме стоит человек массой m. На какое расстояние s удалится лодка от берега, если человек перейдет с кормы на нос лодки? Силами трения и сопротивления пренебречь.

Решение: Согласно следствию из закона сохранения импульса внутренние силы системы тел не могут изменить положение центра масс системы. Применяя это следствие к системе человек- лодка, можно считать, что при перемещении человека по лодке центр тяжести системы не изменит своего положения, т.е. останется на прежнем расстоянии от берега.

Пусть центр тяжести системы человек- лодка находится на вертикали, проходящей в начальный момент времени через точку С₁ лодки (рис.3), а после перемещения лодки – через другую точку С₂. Так как эта вертикаль неподвижна относительно берега, то искомое перемещение s лодки относительно берега равно перемещению лодки относительно вертикали. А это последнее легко определить по перемещению центра тяжести О лодки. Как видно из рис 3, в начальный момент времени точка О находится на расстоянии а₁ слева от вертикали, а после перехода человека- на расстояние а₂ справа от неё.

С ледовательно, искомое перемещение лодки: S=a₁+a₂.

Для определения a₁ и a₂ воспользуемся тем, что относительно центра тяжести системы моменты сил тяжести лодки и человека должны быть равны. Для точки С₁ получим: Мga₁=mg(l-a₁)

Откуда после сокращения на g получим: .

Для точки С₂ имеем: Мga₂=mg(L-l-a₂), откуда .

Подставив выражения a₁ и a₂ в формулу получим:

.

Задача 4. Шар массой m₁, движущийся горизонтально со скоростью v₁ столкнулся с неподвижным шаром массой m₂. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю  своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Решение: Доля  кинетической энергии, переданной первым шаром второму выразится соотношением: , где Т₁- кинетическая энергия первого шара до удара; u₂ и Т₂- скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

Как видно из этой формулы, для определения  надо найти u₂. При ударе абсолютно упругих тел одновременно выполняются два закона сохранения: закона сохранения импульса и закона сохранения механической энергии. Пользуясь этими законами найдем u₂. По закону сохранения импульса, учитывая, что второй шар до удара покоился, получим: m₁v₁= m₁u₁+ m₂u_2.

По закону сохранения механической энергии: .

Решая совместно эти уравнения найдем: .

Подставив это выражения для u₂ в формулу и сократив на v₁ и m₁ , получим: .

Из полученного выражения видно, что доля передаваемой энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров. Доля передаваемой энергии не изменится, если шары поменяются местами.

Задача 5. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m=80 г (рис 4), перекинута тонкая , гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами m₁=100 г и m₂=200 г.с каим ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой нити пренебречь.

Решение: Воспользуемся основными уравнениями динамики поступательного и вращательного движений. Для этого рассмотрим силы, действующие на каждый груз в отдель

н ости и на блок. На первый груз действуют две силы: сила тяжести m₁g и сила упругости (сила натяжения нити )Т₁. Спроектируем эти силы на ось х, которую направляем вертикально вниз, и напишем уравнение движения (второй закон Ньютона) в координатной форме:

m₁g- T₁=-m₁a.

Уравнение для второго груза запишется аналогично: m₂g- T₂=m₂a.

Под действием двух моментов сил Т’₁r и Т’₂r относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа, блок приобретает угловое ускорение (=а/r). Согласно основному уравнению динамики вращательного движения:

Т’₂r-Т’₁r=J_z,где момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси z.

Сила Т’₁ согласно третьему закону Ньютона по абсолютному значению равна силе Т₁ . Соответственно и сила Т’₂ равна силе Т₂. Воспользовавшись этим, подставим в уравнение вместо Т’₁ и Т’₂ выражения для Т₁ и Т₂, получив их предварительно из уравнений по второму закону Ньютона:

(m₂g- m₂a)r - (m₁g + m₁a)r=

после сокращения на r и перегруппировки членов найдем интересующее нас ускорение: .

Отношение масс в правой части формулы есть величина безразмерная, поэтому массы можно выразить в граммах, как они даны в условии задачи. Ускорение g надо выразить в единицах СИ. После подстановки получим:

м/с².

Задача 6. Маховик в виде сплошного диска радиусом R=0.2 м и массой m=50 кг раскручен до частоты вращения n₁= 4800 мин^-1 и предоставлен самому себе. Под действием сил трения маховик остановился через t=50 с. Найти момент М сил трения.

Решение: Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде: dL_z=M_zdt, где dL_z – изменение момента импульса маховика, вращающегося относительно оси z, совпадающей с геометрической осью маховика за интервал dt; М_z- момент внешних сил (в нашем случае момент сил трения), действующих на маховик относительно той же оси.

Момент сил трения можно считать не изменяющимся с течением времени (M_z= const), поэтому интегрирование полученного уравнения приводит к выражению L=M_zt.

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси изменение момента импульса L=J_z, где J_z – момент инерции маховика относительно оси z; - изменение угловой скорости маховика.

Приравняв правые части равенства получим: M_zt= J_z, откуда .

Момент инерции маховика в виде сплошного цилиндра определяется по формуле: .

Изменение угловой скорости =₂-₁ выразим через конечную n₂ и начальную n₁ частоты вращения, пользуясь соотношением =2n:

=₂-₁=2n₂ -2n₁=2(n₂-n₁).

Подставив в формулу найденные выражения J_z и , получим:

.

Выпишем величины, входящие в эту формулу в СИ и произведем вычисления: m= 50 кг; R=0.2 м; n₂=480 мин^-1=480/60 с^-1=8 с^-1; n₂=0; t= 50 с.

Н/м.

Знак «минус» показывает, что силы трения оказывают на маховик тормозящее действие.

Задача 7. Определить плотность смеси газа, состоящего из 6 г водорода и 42 г азота, находящихся при нормальных условиях.

Решение. Используем определение плотности: , где т- масса смеси. Очевидно, что т=т₁+т₂.

Объем, занимаемый смесью, определим, используя уравнение состояния идеального газа: pV=vRT, где v – число молей газа.

Для смеси v=v₁+v₂= ₊ , где v₁, т₁- число молей и масса водорода, а v₂, т₂ - число молей и масса азота.

Тогда получаем V=( ₊ ) . Отсюда = .

Проверим размерность:

Вычислим значение плотности:

Ответ: указанная в условии смесь газов имеет плотность 0.47 кг/м³.

Задача 8. Вычислить удельные теплоемкости C_V и С_Р смеси неона и водорода, если массовая доля неона ₁=80%, массовая доля водорода ₂=20%.

Решение. Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами:

С_V= , a C_P=

Где i- число степеней свободы молекулы газа, а -молярная масса.

Для неона (одноатомный газ) i=3 и =2010^-3 кг/моль, тогда

С_V1= =6.2410² Дж/(кгК), а С_Р1= =1.0410³ Дж/(кгК),

Для водорода (двухатомный газ) i=5 и =210^-3 кг/моль, тогда

С_V2= =1.0410⁴ Дж/(кгК), а С_Р2= =1.4610⁴ Дж/(кгК),

Удельную теплоемкость смеси при постоянном объеме C_V найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на Т, выразим двумя способами: Q=C_V(m₁+m₂)T,

Q=(C_V1m₁+C_V2m₂)T,

Где C_V1– удельная теплоемкость неона; C_V1– удельная теплоемкость водорода.

Приравняв правые части и разделив обе части полученного равенства на Т получим:

C_V(m₁+m₂)= C_V1m₁+C_V2m₂, откуда

C_V= C_V1 +C_V2 или C_V= C_V1₁+C_V2₂ ,

Где ₁= и ₂= - массовые доли неона и водорода в смеси.

Подставив в полученную формулу числовые значения величин, найдем:

C_V= (6.2410² 0.8+1.0410⁴ 0.2)=2.5810³ Дж/(кгК)

Рассуждая таким же образом получим: C_Р= C_Р1₁+C_Р2_2.

Подставив в полученную формулу числовые значения величин, найдем:

C_Р= (1.0410³ 0.8+1.4610⁴ 0.2)=3.7510³ Дж/(кгК).

Задача 9. В сосуде емкостью 5 л при нормальных условиях содержится водород. Определить коэффициенты диффузии, теплопроводности и внутреннего трения.

Решение. Кинетические коэффициенты рассчитываются по формулам:

D= <l><V>

= <l><V>C_V

= <l><V>

где <l>-средняя длина свободного пробега молекул; <V>- средняя арифметическая скорость молекул; - плотность газа; C_V- удельная изохорическая теплоемкость газа. Для определения кинетических коэффициентов нужно знать значения всех перечисленных величин.

<l>= , где концентрация молекул n- определяется из основного уравнения молекулярно- кинетической теории: p₀=nkT₀, т.е. n= .

Тогда: <l>=

Эффективный диаметр d определяем по справочнику (для водорода d=2.210^-9 м).

Вычисляем: <l>= 1,7310^-7 м.

<V>= 1700 м/с.

Из уравнения состояния идеального газа pV= , отсюда

= 8,910^-2 кг/м³.

С_V= = =1.0410⁴ Дж/(кгК) (для водорода i=5)

Теперь можно вычислить все искомые величины:

D= <l><V>= 1.7310^-71700=9.810^-5 м²/с;

= <l><V>= D= 9.810^-5 8.910^-2=8.7210^-6 кг/(мс);

= <l><V>C_V=C_V=8.7210^-6 1.0410⁴ =9.0710^-2 Дж/(мсК).

Задача 10. 1 моль кислорода, находящийся при Т=290 К, адиабатически сжали так, что его давление возросло в 5 раз. Определить температуру газа после сжатия и работу, которая была совершена над газом.

Решение. Для определения температуры газа Т₂ после сжатия используем уравнение Пуассона: .

Из объединенного газового закона получим: .

Делаем подстановку: или , откуда

Где = - коэффициент Пуассона (показатель адиабаты); i- число степеней свободы молекул. Для кислорода (двухатомный газ) i=5, т.е. =1.4.

Вычислим Т₂=290 460 К.

Из первого начала термодинамики Q=U+A следует, что при адиабатическом процессе (Q=0) работа, совершаемая над газом (А<0), идет на увеличение его внутренней энергии.

Изменение внутренней энергии связано с теплоемкостью: Дж.

Следовательно, и работа будет равна этой величине (-А=U). Знак «минус» показывает, что работа совершалась над газом.

Ответ. При сжатии газа совершена работа, равная 3530 Дж.Конечная температура газа 460 К.

Задача 11. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура нагревателя Т₁=500 К. Определить термический к.п.д. цикла и температуру Т₂ охладителя тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от нагревателя, машина совершает работу А=350 Дж.

Решение. Термический к.п.д. тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от нагревателя, превращается в механическую работу. Термический к.п.д. выражается формулой =А/Q₁, где Q₁- теплота, полученная от нагревателя; А- работа, совершенная рабочим телом тепловой машины.

Подставив числовые значения в эту формулу, получим: .

Зная к.п.д. цикла можно по формуле определить температуру охладителя Т₂:

Т₂=Т₁(1-).

Подставив в эту формулу полученное значение к.п.д. и температуры нагревателя Т₁, получим: Т₂=500(1-0.35)=325 К.