22.Анализ чувствительности решения к изменению запасов сырья. Определение целесообразности нового производства.

Чувствительность решения к изменению запасов сырья

Предположим, что запас сырья ресурса "труд" изменился на 12 единиц, т.е. теперь он составляет 2000 + 12 = 2012 единиц.

Из теоремы об оценках   известно, что колебание величины   приводит к увеличению или уменьшению   Оно определяется величиной   в случае, когда при изменении величин   значения переменных  , в оптимальном плане соответствующей двойственной задачи, остаются неизменными. Поэтому необходимо найти такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы ограничений исходной ЗЛП, в которых оптимальный план двойственной задачи не менялся бы.

Для двойственных оценок оптимального плана весьма существенное значение имеет их предельный характер.

Точной мерой влияния ограничений на функционал оценки являются лишь при малом приращении ограничения.

Известно, что оценки не меняют своей величины, если не меняется набор векторов, входящих в базис оптимального плана, тогда как интенсивность этих векторов (значения неизвестных) в плане могут меняться.

Рассмотрим модель исходной задачи (3.1)-(3.3) в матричной форме:

где   – вектор неизвестных;

 – вектор коэффициентов при неизвестных в целевой функции;

 – вектор свободных членов ограничений исходной задачи;

 – матрица коэффициентов в системе ограничений.

Приведем задачу к канонической форме, введем т дополнительных переменных. Задача примет вид:

где вектор неизвестных переменных X будет теперь иметь размерность п + т. Размерность матрицы А также изменится и будет равна т • (п + т).

Пусть известен оптимальный план. Разобьем вектор X на два подвектора:  и  . В первый включены неизвестные, вошедшие в базис оптимального решения (т.е. ненулевые в оптимальном плане). Соответственно матрицу A разобьем на две подматрицы: (размерность т × т) и  (размерность т × и).

Первую из них сформируют т.е. столбцы матрицы Л, которые соответствуют ненулевым неизвестным в оптимальном плане. Тогда  . Так как , то . Умножив обе части последнего равенства на матрицу, обратную матрице А, получим  . Так как  , где Е – единичная матрица, то  . Обозначим   через D, тогда 

Матрица D характеризует влияние ресурсов на величину выпуска продукции X. Изменим размер выделяемых ресурсов, т.е. дадим приращение Δ.Β вектору В. Тогда

С учетом X = DB можно записать:

Это соотношение определяет величину структурных сдвигов в выпуске продукции при изменении ограничений исходной задачи. Из соотношений второй теоремы двойственности видно, что двойственные оценки (переменные двойственные задачи) тесным образом связаны с оптимальным планом простой задачи. Всякое изменение исходных данных прямой задачи может оказать влияние как на ее оптимальный план ( ), так и на систему оптимальных двойственных оценок. Поэтому, чтобы проводить экономический анализ с использованием двойственных оценок, нужно знать их интервал устойчивости.

Второе свойство двойственных оценок означает, что изменение значений величины   приводит к увеличению или уменьшению  . Это изменение, как выше уже отмечено, определяется величиной   и может быть определено лишь тогда, когда при изменении величин   значения переменных   в оптимальном плане соответствующей двойственной задачи остаются неизменными. Поэтому необходимо определить такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы линейных уравнений АХ = В, в которых оптимальный план двойственной задачи не меняется. Это имеет место тогда, когда среди компонент вектора X = DB нет отрицательных.

Исходя из этого, получаем следующие оценки нижних и верхних пределов устойчивости двойственных оценок при изменении каждого ограничения в отдельности. Пределы уменьшения (нижняя граница) определяются по тем , для которых соответствующие  :

 (3.13)

Пределы увеличения (верхняя граница) определяются по тем  , для которых :

 (3.14)

Ослабление какого-либо i-го ограничения приводит к тому, что с определенного момента оказывается возможным изменить структуру (набор векторов) в базисе плана, что ведет к скачкообразному уменьшению величины оценки. Так продолжается

до тех пор, пока i-й ресурс вообще перестанет быть дефицитным и его оценка обратится в нуль.

Определим интервалы устойчивости двойственных оценок в примере 3.3. Матрица А имеет вид

После приведения задачи к канонической форме матрица А примет следующий вид:

С ненулевыми значениями в оптимальный план вошли  ,   и  , следовательно, матрица   будет составлена из первого, второго и четвертого столбцов матрицы А:

Для вычисления интервалов устойчивости необходимо найти матрицу (правила вычисления обратной матрицы приведены в главе 2.

При вычислении интервалов устойчивости по формулам (3.13) и (3.14) примем 

Интервалы устойчивости первого ресурса – "труд":

При изменении запасов ресурса "труд" в пределах от 1400 до 3200 единиц двойственная оценка его не изменится. Интервалы устойчивости второго ресурса – "сырье": этот ресурс в оптимальном плане используется не полностью и поэтому не имеет верхней границы интервалов устойчивости; нижняя граница определяется следующим образом:

Интервалы устойчивости третьего ресурса – "оборудование":

В нашем примере определим величину изменения объема прибыли от реализации продукции при увеличении ресурса "труд" на 12 единиц. Эти изменения находятся в интервалах устойчивости двойственных оценок, поэтому можно воспользоваться теоремой об оценках:

Объем прибыли увеличится на 160 единиц.

Такой же ответ мы получили бы, если бы решили симплексным методом задачу с новыми ограничениями по ресурсу "труд". Новый оптимальный план:

Структурных сдвигов в программе не произошло, но значения переменных в плане изменились: продукции вида Л может быть выпущено на 2 единицы меньше, а продукции вида Б – на 4 больше. Значение целевой функции при новых ограничениях увеличится на 160 единиц.