2.1. Предельный анализ

В условиях определенности доходы и затраты будут известны для любого уровня производства и продаж. Задача состоит в том, чтобы найти их оптимальное соотношение, позволяющее максимизировать прибыль. Предельный анализ позволяет сделать это. В нем используются концепции предельных затрат и предельного дохода (рисунок 1). Предельный доход (MR) определяется как дополнительный доход (изменение общего дохода), получаемый от продажи дополнительной единицы продукта. Графически он выражается наклоном кривой общего дохода (TR).

Предельные затраты (МС) определяются как дополнительные затраты (изменение величины общих затрат) на приобретение или производство дополнительной единицы продукции. Графически они выражаются наклоном кривой общих затрат (ТС). На этом рисунке представлены кривые дохода, затрат и прибыли, типичные для микроэкономической теории.

Мы должны также отметить следующее.

1. При уровнях производства Q₁ и Q₄ TR в точности равно ТС, так что прибыль равна нулю. Объем производства меньше Q₁ или больше Q₄ ведет к убыткам (т.е. характеризуется отрицательной прибылью).

2. При уровнях производства больше Q₁ или меньше Q₄ — прибыль положительная.

3. Предельный анализ показывает, что до тех пор, пока MR превышает МС, производство и продажа дополнительной единицы продукции будут повышать прибыль. Прибыль, соответственно, максимизируется при том уровне производства, при котором MR = МС.

Равенство MR = МС верно при Q_3. При этом уровне производства, если мы проведем одну касательную для кривой ТС, а другую  для кривой МС, то мы увидим, что они будут параллельны, т.е. наклоны обеих кривых будут равны между собой. Это означает, что при уровне производства, равном Q₃, MR = МС. При таком уровне производства наклон функции прибыли, или предельная прибыль (MP), будет равна нулю.

Вместо того чтобы оговаривать точную степень использования ресурсов, необходимую для максимизации прибыли, мы можем ввести в модель некоторый комплекс реальных условий, оговорив существование определенных ограничений на ресурсы. Предположим, что недостаток ресурсов или, возможно, отсутствие спроса будут ограничивать объем производства Q₂ определенной величиной (см. рисунок 1). Тогда лицо, принимающее решение, должно установить, будет ли выпуск продукции, максимизирующий прибыль при ограничении производства, равен Q₂ или он будет находится левее (т.е. будет меньше Q₂). Это достаточно сложная задача, общее решение которой может быть затруднено ограничениями на наличие ресурсов, ограничениями или условиями использования ресурсов и ограничениями или требованиями по уровню производства. Когда такие ограничения накладываются друг на друга, это еще более усложняет задачу. Облегчить ее может линейное программирование, развивающее предельный анализ.

2.2. Линейное программирование

Линейное программирование – это вид математического моделирования, который служит для поиска оптимального варианта распределения ограниченных ресурсов между конкурирующими работами. Любая экономическая задача, связанная с максимизацией или минимизацией (т.е. оптимизацией) линейной целевой функции (например, функции прибыли, полной стоимости или аналогичных экономических величин) и выраженная в форме комплекса линейных неравенств (например, ограничений по рабочей силе, материалам, капиталу или другим ресурсам), будет задачей линейного программирования. Линейное программирование с большим успехом используется для решения многих задач в области бизнеса, например:

1. Определение набора продуктов, отвечающих заданным ограничениям при минимальных затратах (например, определение набора продуктов питания, отвечающих заданным диетическим требованиям).

2. Определение оптимальных производственных линий и производственных процессов. Примеры встречаются везде, где действуют ограничения на производственные мощности (например, на размер предприятия или на машинное время) и где принимаются решения о выпуске продукции при наличии ограничений на ресурсы.

3. Определение оптимальных маршрутов перевозок. В качестве примера можно привести фирмы, производственные предприятия и склады, размещенные далеко друг от друга и стремящиеся минимизировать свои расходы на перевозки продукции от места производства на склад.

Это только немногие примеры широкого класса задач, решаемых методами линейного программирования. По масштабам своего использования это, вероятно, наиболее успешный и широко применяемый подход к решению задач о распределении ресурсов. Масштабы его использования тесно связаны с развитием компьютерных технологий, поскольку сложные задачи линейного программирования требуют большого объема вычислений. Поэтому большинство управляющих бизнесом, которым действительно необходимо решать задачи линейного программирования, ограничиваются их постановкой и передают на решение техническим специалистам, а те вводят эти данные в компьютерные программы линейного программирования.

Линейное программирование может быть использовано только для решения задач, имеющих все четыре представленные далее характеристики:

1) комплекс неотрицательных независимых переменных;

2. одну и только одну цель, служащую функцией переменных (например, минимизация затрат или максимизация прибыли);

3. наличие ограничений, налагающих пределы на достижение цели. Обычно они имеют вид верхнего или нижнего пределов для сочетания переменных;

4) линейный характер количественных соотношений.

Для решения задач линейного программирования могу использоваться графический метод (если имеются только две переменных) и симплексный метод (например, если имеется три и более переменных). Симплексный метод лучше всего подходит для постановки решения задачи с помощью компьютерных технологий.

Пример. Малое частное предприятие выпускает два вида глиняной посуды: простой глиняный горшок и ваза с ручками и орнаментом по бокам. Для изготовления простого глиняного горшка требуются 4 кг глины и 1 ч работы, а его реализация приносит 4тыс. руб. прибыли. Для изготовления вазы требуются 3 кг глины и 2 ч работы. Прибыль от реализации вазы составляет 5тыс. руб. На фирме 40 ч в неделю работает один гончар; допустимый расход глины составляет 120 кг в неделю. Сколько горшков и ваз нужно изготовить в неделю, чтобы максимизировать прибыль предприятия?

Решение. Прежде всего, следует построить модель линейного программирования. Затем задачу можно решить графическим методом, или симплексным методом. Рассмотрим графический метод.

Шаг 1. Определение переменных.

Пусть х ₁ — количество простых глиняных горшков, производимых в неделю;

х ₂ — количество ваз, производимых в неделю.

Шаг 2. Определение целевой функции. Каждый горшок дает 4тыс. руб. прибыли, а каждая ваза – 5тыс. руб. Цель, Z, состоящая в максимизации прибыли, выражается как

Z = 4 х₁ + 5 х₂

Шаг 3.Определение ограничений

А. Ограничение по труду. Изготовляя горшки или вазы, гончар будет работать мак- симум 40 ч в неделю. Он может работать меньше, но не больше. Каждый горшок тре- бует 1 ч работы, а каждая ваза -2 ч. Соответственно

х₁ + 2 х₂  40.

Б. Ограничение по материалам. Имеется максимум 120 кг глины в неделю. На изготовление каждого горшка расходуется 4 кг глины, а каждой вазы – 3 кг. Соответственно

4 х₁ + 3 х₂  120.

При этом х_{1 ,} х ₂  0.

Шаг 4. Построение графика (по оси X – горшки, по оси Y – вазы).

Строятся линии, отражающие ограничения по труду и по материалам и далее определяется область допустимых решений, в которой содержатся все сочетания переменных, удовлетворяющие всем ограничениям. Линия ограничения по материалам пересекает линию ограничения по труду с координатами (24; 8). Эти координаты можно найти, решив одновременно оба уравнения:

(х₁ + 2 х₂ = 40)  3 = 3 х₁ + 6 х₂ = 120;

(4 х₁ + 3 х₂ = 120)  2 = 8 х₁ + 6 х₂ = 240;

- 5 х₁ = - 120; х₁ = 24;

х₁ + 2 х₂ = 40;

24 + 2 х₂ = 40;

2 х₂ = 16; х₂ = 8.

Прибыль в этой точке будет максимальна и равна 4  24 + 5  8 = 136 тыс. руб.

2.3 Приростной анализ прибыли (краткосрочная концепция)

В реальном мире функции спроса, дохода, производства и затрат не могут быть известны достаточно точно и подвергаются изменениям. Приростной анализ прибыли оперирует с любыми и всеми изменениями в доходах, затратах и прибылях, явившимися следствием определенного решения. Концепция приростного анализа охватывает изменения, как самих функций, так и их значений. Основное правило решения состоит в том, чтобы принять любое предложение, повышающее прибыль, или отвергнуть любое предложение, ее уменьшающее.

Поскольку в приростном решении рассматриваются только переменные затраты, подвергающиеся изменениям, а постоянные затраты (такие, как страхование и обесценение денег) не рассматриваются. Таким образом, приростные решения относятся к краткосрочной концепции. К сожалению, многие управляющие не используют приростные термины; напротив, они принимают решения, исходя из средних значений общих затрат, включая в них постоянные и переменные затраты (полностью распределенные затраты). Почти всегда краткосрочные решения, основанные на средних значениях полностью распределенных затрат, неверны, если целью фирмы будет максимизация прибыли.