Преобразование чисел из одной системы счисления в другую Перевод целого числа из десятичной системы в другую позиционную систему счисления

При переводе целого десятичногочисла в систему с основаниемqего необходимо последовательноделитьнаqдо тех пор, пока не останется остаток, меньший или равныйq–1. Число в системе с основаниемqзаписывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

1. В двоичную:

75₁₀ = 1 001 011₂ 26₁₀=11010₂

2. В восьмеричную:

75₁₀= 113₈ 241₁₀=361₈

3. В шестнадцатеричную:

75₁₀= 4B₁₆3627₁₀=Е2В₁₆

Перевод правильной десятичной дроби в любую другую позиционную систему счисления

При переводе правильной десятичной дробив систему счисления с основаниемqнеобходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательноумножатьнаq, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей произведения.

Умножение производится до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности.

1. в двоичную:

0,35₁₀= 0,01011₂ 0,5625₁₀=0,1001₂

или

0,847₁₀=0,1101₂

2. в восьмеричную:

0,35₁₀= 0,263₈0,65625₁₀=0,52₈

3. в шестнадцатеричную:

0,35₁₀= 0,59₁₆ 0,847₁₀=0,D8D₁₆

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную.

При переводе числа из двоичной(восьмеричной, шестнадцатеричной) системы вдесятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.

1. из двоичной

101101₂=1∙2⁵+0∙2⁴+1∙2³+1∙2²+0∙2¹+1∙2⁰=32+0+8+4+0+1=44₁₀

11011101₂=1∙2⁷+1∙2⁶+0∙2⁵+1∙2⁴+1∙2³+1∙2²+0∙2¹+1∙2⁰=128+64+0+16+8+4+0+1=221₁₀

0,1101₂=1∙2^-1+1∙2^-2+0∙2^-3+1∙2^-4=0,5+0,25+0+0,0625=0,8125₁₀

2. из восьмеричной

13₈=1∙8¹+3∙8⁰=11₁₀

7145₈=7∙8³+1∙8²+4∙8¹+5∙8⁰=7∙512+64+32+5=3685₁₀

3. из шестнадцатеричной

13₁₆=1∙16¹+3∙16⁰=16+3=19₁₀

DAEF₁₆=13∙16³+10∙16²+14∙16¹+15∙16⁰=13∙4096+10∙256+14∙16+15=56047₁₀

0,D8D₁₆=13∙16^-1+8∙16^-2+13∙16^-3=13∙0,062500+8∙0,003906+13∙0,000244=0,8469200₁₀=0,84692₁₀

Перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно.

а) исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4;

б) каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей.

1. Выполнить перевод числа 10011₂в шестнадцатеричную систему счисления

Поскольку в исходном двоичном числе количество цифр не кратно 4, дополняем его слева незначащими нулями до достижения кратности 4 числа цифр. Имеем:

00 11₂=(11₂)=3₁₆

10011₂=13₁₆

0001₂=(1₂)=1₁₆

2. Выполнить перевод числа 10110010₂в шестнадцатеричную систему счисления

10 11|0010₂

1 0 11₂=B₁₆

10110010₂=B2₁₆

0010₂=2₁₆

3. Выполнить перевод числа 0,0010101₂в шестнадцатеричную систему счисления

00 10₂=10₂=2₁₆

0,0010101₂=0,2A₁₆

1010₂=A₁₆

Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:

а) каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей. Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады;

б) незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.

1. Выполнить перевод числа 13₁₆в двоичную систему счисления

1_{1 6}= 1₂ = 0001₂;

3_{1 6}= 11₂= 0011₂.

13₁₆= 0001|0011₂.

После удаления незначащих нулей имеем 13₁₆= 10011₂

2. Выполнить перевод числа AC₁₆в двоичную систему счисления

A_{1 6}=1010₂

C_{1 6}=1100₂

1010|1100₂

AC₁₆=10101100₂

3. Выполнить перевод числа 0,2A₁₆в двоичную систему счисления

2_{1 6}=0010₂

0,2А₁₆=0,00101010₂

А₁₆=1010₂.

Отбросим в результате незначащий ноль и получим окончательный ответ: 0,2А₁₆= 0,0010101₂