Приложение 13 Расчёт сложных электрических цепей

В сложных электрических цепях может содержаться несколько замкнутых контуров с любым размещением в них источников энергии и потребителей. Поэтому такие сложные цепи нельзя свести к сочетанию последовательных и параллельных соединений.

Используя законы Ома и Кирхгофа, можно найти распределение токов и напряжений на всех участках любой сложной цепи.

Одним из методов расчёта сложных электрических цепей является метод наложение токов, сущность которого заключается в том, что ток в какой-либо ветви представляет собой алгебраическую сумму токов, создаваемых в ней каждой из ЭДС цепи в отдельности. На рис. изображена цепь, содержащая три источника с ЭДС E₁, E₂, E₃и четыре последовательно соединенных резистора R₁, R₂, R₃, R₄. Если пренебречь внутренним сопротивлением источников энергии, то общее сопротивление цепи R=R₁+R₂+R₃+R₄. Допустим сначала, что ЭДС первого источника E₁ ≠ 0, а второго и третьего E₂ = 0 и E₃ = 0. Затем положим E₂ ≠ 0, а E₁ = 0 и E₃ = 0. И наконец, полагаем E₃≠ 0, а E₁ = 0 и E₂ = 0. В первом случаи ток в цепи, совпадающий по направлению с ЭДС E₁, равен I₁ = E₁/R; во втором случаи ток в цепи, совпадающий по направлению с ЭДС E_2, равен I₂ = E₂/R; в третьем случаи ток равен I₃ = E₃/Rи совпадает по направлению с ЭДС E_3. Так как ЭДС E₁ и E₃ совпадает по направлению в контуре, то и токи I₁ и I₃ также совпадают, а ток I2 имеет противоположное направление, так как ЭДС E₂ направлена встречно по отношению к ЭДС E₁ и E₃. Следовательно, ток в цеп равен

I = I₁ – I₂ + I₃ = E₁ / R – E₂ / R + E₃ / R =

= (E₁ – E₂ + E₃) / (R₁ + R₂ + R₃).

Электрическая цепь с тремя источниками энергии

Направление на любом участке цепи, например между точками а и б,равно U_аб = IR₄.

При расчёте сложных цепей для определения токов во всех ветвях цепи необходимо знать сопротивления ветвей, а также значение и направление всех ЭДС.

Перед составлением уравнений по законам Кирхгофа следует произвольно задаться направлениями токов в ветвях, показав их на схеме стрелками. Если действительное направления тока в какой-либо ветви противоположно выбранному, то после решения уравнений этот ток получится со знаком « - ». Число необходимых уравнений равно числу неизвестных токов, причём число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше числа узлов цепи; остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа, причем следует выбрать наиболее простые контуры и так, чтобы каждый из них содержал хотя бы одну ветвь, не входившую в ранее составленные уравнения.

Расчет сложной цепи с применением уравнений по законам Кирхгофа рассмотрим на примере двух параллельно включенных источников, замкнутых на сопротивление. Пусть ЭДС источников E₁ = E₂ =120B, их внутренние сопротивления R₁ = 3 Ом и R₂ = 6 Ом, сопротивление нагрузки R = 18 Ом.

Так как число неизвестных токов 3, то необходимо составить три уравнения. При двух узловых точках необходимо одно узловое уравнение по первому закону Кирхгофа: I = I₁ + I₂. Второе уравнение запишем при обходе контура, состоящего из первого источника и сопротивление нагрузки: E₁ = I₁R₁ + IR. Аналогично запишем третье уравнение: E₂ = I₂R₂ + IR. Подставляя числовые значения, получим 120 В = 3I₁ + 18I и 120 В = 6I₂ + 18I. ТаккакE₁ – E₂ = I₁R₁ – I₂R₂ = 3I₁ – 6I₂ = 0, тоI₁ = 2I₂иI = 3I₂. Подставляя эти значения в выражение для ЭДС E₁, получим 120 =

= 2I2 ×3 + 18 × 3I₂ = 60I₂, откуда I₂ = 120 / 60 = 2A, I₁ = 2I₂ = 4A, I = I₁++I2 = 6A.

В сложных электрических цепях, имеющих две узловые точки а и б и состоящих из нескольких параллельно соединенных источников энергии, работающих на общий приемник, удобно использовать метод узловых напряжений. Обозначив потенциалы в узловых точках φа – φб, напряжение между этими точками U можно выразить разностью этих потенциалов, т.е.

U = φа – φб.

а б

Схема к расчету сложно электрической цепи:

а – по методу узловых напряжений;

б – по методу контурных токов

Приняв за положительное направление ЭДС и токов в ветвях от узла, а к узлу б для каждой из ветвей, можно записать равенства: I₁ = ( φа – φб – E₁)/

/ R₁ = ( U – E₁)g₁; I₂ = ( φа – φб – E₂) / R₂ = ( U – E₂)g₂; I₃ = ( φа – φб – E₃) / / R₃ = ( U – E₃)g_3; I = ( φа – φб ) / R = Ug_.

На основании первого закона Кирхгофа для узловой точки имеем I₁ + I₂ + + I₃ +I = 0. Подставим в эту сумму значения токов, найдем

( U – E₁ )g₁ + ( U + E₂)g₂ + ( U – E₃)g₃ + Ug = 0,

откуда

U = ( E₁g₁ – E₂g₂ + E₃g₃) / (g₁ + g₂ + g₃ + g) =

= Σ Eg / Σ g,

т.е. узловое напряжение равно алгебраической сумме произведений ЭДС и проводимостей всех параллельных ветвей, деленной на сумму проводимостей всех ветвей. Вычислив по этой формуле узловое напряжение и воспользовавшись выражениями для оков в ветвях, легко определить эти токи.

Для определения токов в сложных цепях, содержащих несколько узловых точек и ЭДС, применяют метод контурных токов. Который дает возможность сократить число уравнений, подлежащих решению. Предполагают, что в ветвях, входящих в состав двух смежных контуров, протекают два контурных тока, первый из которых представляет собой ток одного из смежных контуров, а второй – другого контура. Действительный ток в рассматриваемом участке цепи определяется суммой или разностью этих двух токов в зависимости от взаимного относительного направления.

При использовании метода контурных токов составляют уравнения, исходя из суммы сопротивлений, входящих в состав данного контура, и суммы сопротивлений, входящих в состав ветви, общей для смежных контуров. Первую сумму условно обозначают двойным индексом, например R₁₁, R₂₂ и т.д., а вторую – индексом, содержащим номера контуров, для которых данный участок цепи является общим, например R₁₂, R₁₃ и т.д.

Если контур содержит несколько источников с ЭДС E₁, E₂, E₃ и т.д., то на основании второго закона Кирхгофа для этого контура можно записать следующее уравнение: E₁ ± E₂ ± E₃ + … = I₁R₁₁ + I₂R₁₂ + I₃R₁₃ +… . В этом уравнении знак «+» или « - » берется в зависимости от взаимного относительного направления ЭДС и токов в контуре ( при одинаковом направлении - «+», в противоположном - « - » ). Аналогичные уравнения могут быть записаны для всех контуров, входящих в сложную электрическую цепь. Таким образом, алгебраическая сумма ЭДС каждого контура равна алгебраической сумме произведения тока в данном контуре на сумму сопротивлений всех звеньев, образующих его, и контурных токов всех контуров, смежных с данным контуром, на сопротивления общих звеньев.

На рис. б изображена сложная электрическая цепь, содержащая три контура. В цепи два источника с ЭДС E₁= 12 B, E2 = 8 B и внутренними сопротивлениями R₀₁ = 4 Ом, R₀₂ = 3 Ом и пять сопротивлений

R₁ = 20 Ом, R₂ = 29 Ом, R₃ = 40 Ом, R₄ = 8 Ом, R₅ = 16 Ом.

Находим сопротивления: R₁₁ = R₁ + R₀₁ + R₁₃ = 20 + 4 + 8 = 32 Ом;

R₂₂ = R₂ + R₀₂ + R₂₃ = 29 + 3 + 16 = 48Ом; R₃₃ = R₃ + R₃₁ + R₃₂ =

= 40 + 8 + 16 = 64 Ом; R₁₃ = R₃₁ = 8 Ом; R₂₃ = R₃₂ = 16 Ом.

На основании второго закона Кирхгофа составляем уравнения:

для контура 1:

E₁ = I₁R₁₁ – I₃R₁₃; 12 = 32I₁ – 8I₃;

для контура 2:

E₂ = I₂R₂₂ – I₃R₂₃; 8 = 48I₂ – 16I₃;

для контура 3:

E₃ = I₃R₃₃ – I₃R₃₂; 0 = 64I₃ – 16I₂ – 8I.

Решаяэтиуравнения, находим: I₁ = 0,4A; I₂ = 0,2A; I₃ = 0,1A; I₄ = I₁ – - I₃ = 0,3A; I₅ = I₂ – I₃ = 0,1A.