1. Основные обозначения и операции над множествами.

Понятие множества является одним из основных в математике. Объекты составляющие множество называют его элементами или точками. Обычно множество обозначается большими буквами, а входящие в них элементы маленькими. Пусть x и y два множества тогда между ними можно определить соотношения:

1)Если оба множества состоят из одних и тех же элементов то они совпадают (x=y);

2)Если элементы множества x содержатся в множестве y то x содержится в y (x подмножество множества y);

3)Если не один из элементов множества x не содержится в y то это множество как и само множество x не содержится в y;

Пустое множество-это множество в котором не содержится не один элемент и поэтому оно является подмножеством любого множества (xØy).

2. Операции над множествами.

1)Объединением двух множеств x и y называется совокупность элементов входящих как в множество x так и в y;

2)Добавлением пустого множества к любому множеству x не меняет его множества;

3)Пересечением двух множеств x и y является совокупностью элементов входящих как в множество x так и в y (x∩y);

4)Отсутствие элементов со свойствами множеств x и y одновременно сообщает что пересечение этих множеств представляет собой пустое множество.

5)Разностью множеств x и y называется множество z содержащее все элементы множества x и не содержащиеся в y (z=x-y);

3. Вещественные числа. Сложение, умножение вещественных чисел.

Множество вещественных чисел является бесконечным, оно состоит из рациональных и иррациональных чисел. Рациональным – называется число Q^p (p-целое,Q-натуральное). Всякое число не являющееся рациональным называется иррациональным. Сложение, умножение вещественных чисел. Для любой пары чисел a и b определены единственны вещественным числом a+b и a*b. Называемые суммой и произведением соответственно, для любых чисел a и b справедливы следующие свойства:

1) a+b=b+a, a*b=b*a (коммутативность);

2) a+b+c=(a+b)+c, (ассоциативность);

3) (a+b)*c=a*c+c*b (распределительное);

4) Существует единственное число ноль такое что a+0=a;

5) Для любого числа a существует такое число –a что a+(-a)=0;

6) Существует единственное число 1, такое что для любого числа a имеет место равенство a*1=a;

7) Для любого существенного числа a существует такое число a^-1, что a^-1*a=1.

4. Вещественное числа. Сравнение вещественных чисел.

Множество вещественных чисел является бесконечным, оно состоит из рациональных и иррациональных чисел. Рациональным – называется число Q^p (p-целое,Q-натуральное). Всякое число не являющееся рациональным называется иррациональным. Для любых вещественных чисел имеет место одно из трёх соотношений a=b, a>b, a<b.

Соотношение равенства обладает свойством транзитивности: если a=b и b=c, то a=c;

Отношение > обладает следующими свойствами:

1) Если a>b и b>c, то a>c;

2) Если a>b, то a+c>b+c;

3) Если a>0 и b>0, то a*b>0

Эти свойства также применимы к знаку <; Существует соотношение a=>b и a<=b;

Любое вещественное число можно приблизить к рациональным числам с произвольной точностью.

5. Непрерывность вещественных чисел.

Пусть x и y два множества вещественных чисел тогда если для любых чисел x из множества X и чисел y из множества Y. Выполняется равенство x=y, то существует хотя бы одно число z, такое что для всех x и y выполняется неравенство x=>z<=y. Данным свойством обладает множество всех действительных чисел, но не обладает множеством состоящем только из рациональных чисел.

6. Числовая прямая. Множество на ней.

Между множествами x и y установлено соответствие, если по какому либо правилу или закону каждому элементу x принадлежащему X, соответствует элемент y принадлежащий Y; Соответствие называется взаимно равнозначным если любому элементу x из множества X соответствует один элемент из множества Y и наоборот, любому элементу y из множества Y, один элемент из множества X.

7. Грани числовых множеств. Теорема.

Множество X ограничено сверху (снизу) если существует число d такое что для любого x в множестве X выполняется неравенство x<=d (x=>d). Число d называется верхней (нижней) гранью множества X. Множество ограниченное сверху или снизу называется ограниченными, любой конечный промежуток ограничен. Любое ограниченное сверху (снизу) множество имеет ∞ число верхних (нижних) граней.

Наименьшая нижняя (верхняя) грань ограниченного снизу (сверху) множества X называется точкой нижней (верхней) грани этого множества.

Теорема. Если не пустое числовое множество ограничено сверху (снизу) то оно имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

8. Предел числовой последовательности. Геометрический смысл предела числовой последовательности.

Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определённоё число a_n, то говорят что задана числовая последовательность a₁,a₂,…,a_n другими словами числовая последовательность это функция натурального аргумента a_n=f(n) число a₁,a₂,…,a_n – называется членами последовательности, а число a_n – называется общим или n-ым членом данной последовательности.

Последовательность называется монотонной если она убывает или возрастает. Последовательность x_n строго возрастающая по определению тогда и только тогда когда для любого натурального n выполняется неравенство x_n<x_n+1; Число А называется пределом числовой последовательности a₁,a₂,…,a_n, если для любого сколь угодно малого положительного числа E>0 найдётся такой номер N (зависящей от E) (N=N*k) что для всех членов последовательности n>N верно неравенство |a_n-A|<E;

Предел числовой последовательности обозначается lim (n→∞) a_n=A. Последовательность имеющая предел называется сходящейся в противном случае расходящейся.

Итак, при любом E>0 существует такой номер n=1/E что для всех n>n выполняется неравенство |a_n-A|<E откуда следует lim (n→∞) a_n=1;

Геометрический смысл предела числовой последовательности. Расположим члены последовательности a₁,a₂,…,a_n на числовой прямой тогда неравенство |a_n-A|<E равносильно двойному неравенству A-E<a_n<A+E соответствующему попаданию членов a_n в E окрестность в точке A. Число А есть предел числовой последовательности a_n если для любого E>0 найдётся такой номер N начиная с которого все члены последовательности будут заключены в E окрестности точки A какой бы узкой она не была в E окрестности может быть только конечное число членов последовательности данной последовательности.

9. Предел функции в ∞ и в точке. Геометрический смысл предела функции ∞. Предел функции в точке.

Число А называется пределом функции y=f(x) при x→∞ если для любого даже сколь угодно малого положительного числа E>0 зависящего от E найдётся такое число S что для всех x таких что |x|>S выполняется неравенство |f(x)-A|<E;

Геометрический смысл предела функции в ∞. Неравенство |f(x)-A|<E равносильно двойному неравенству A-E<f(x)<A+E;

Итак, при любом E>0 существует такое число S=1/E>0 что для всех x таких что |x|>S будет выполняться неравенство |f(x)-A|<E.

Предел функции в точке. Пусть функция y=f(x) задана в некоторой окрестности точки x₀. Число А называется пределом функции f(x) при x→x₀ (или в точке x₀) если для любого даже сколь угодно малого положительного числа E найдётся положительное число Q (зависящее от E) что для всех x не равных x₀ и удовлетворяющих условию |x-x₀|<Q выполняется неравенство |f(x)-A|<E.

Число А есть предел функции f(x) при x→x₀ если для любого E>0 найдётся такая Q окрестность что для всех x≠x₀ из этой окрестности соответствуют ординаты графика функции f(x) заключённые в полосе A-E<f(x)<A+E какой бы узкой не была полоса.

10. ∞-малые величины. Свойства ∞-малых величин.

Функция α(x) называется ∞-малой величиной при x→x₀ или x→∞ если её предел равен нулю. α(x) - ∞-малая величина lim (x→x₀)(x→∞) α(x)=0;

Функция α(x) называется ∞-малой величиной при x→x₀ если для любого даже сколь угодно малого положительного E>0 найдётся положительное число Q>0 (зависящее от E) что для всех x≠x₀ удовлетворяющих условию |x-x₀|<Q выполняется неравенство |α(x)|<E. Аналогичное определение для ∞-малой величины при x→∞.

Свойства ∞-малых величин:

1) Алгебраическая сумма конечного числа ∞-малых величин есть величина ∞-малая;

2) Произведение ∞-малой величины на ограниченную функцию есть величина ∞-малая;

3) Частное от деления ∞-малой величины на функцию предел которой отличен от нуля есть величина ∞-малая.

11. ∞-большая величина. Свойства ∞-больших величин.

Функция α(x) называется ∞-большой величиной при x→x₀ или x→∞ если её предел равен ∞. F(x) - ∞-большая величина lim (x→x₀)(x→∞) F(x)=∞;

Функция F(x) называется ∞-большой величиной при x→x₀ если для любого даже сколь угодно большого положительного M>0 найдётся положительное число Q>0 (зависящее от M) что для всех x≠x₀ удовлетворяющих условию |x→x₀|<Q выполняется неравенство |F(x)|>M. Аналогичное определение для ∞-большой величины при x→∞.

Свойства ∞-больших величин:

1) Сумма ∞-большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая;

2) Произведение ∞-большой величины на функцию предел которой отличен от нуля есть величина ∞-большая;

3) Частное от деления ∞-большой величины на функцию имеющую предел есть величина ∞-большая.

12. Принцип вложенных отрезков. Теорема. (Принцип стягивающейся последовательности отрезков).

Последовательность отрезков {[a_n;b_n]} где a_n<=b_n для любого n называется вложенной если каждый отрезок этой последовательности начиная со второго является частью предыдущего. Пусть d_n=b_n-a_n длина n-го отрезка. Вложенная последовательность отрезков называется стягивающейся если последовательность d_n длин этих отрезков стягивается к нулю. d_n-∞-малая.

Теорема. (Принцип стягивающейся последовательности отрезков). Для любой стягивающейся последовательности отрезков a_n,b_n существует такое с принадлежащее всем отрезкам одновременно причём lim a_n=lim b_n=c.

Доказательство. Рассмотрим множество X-множество всех левых концов отрезков и множество Y-множество всех правых концов отрезков, тоесть X={a_n/для любого n принадлежащего N}; Y={b_n/для любого n принадлежащего N}; x≠Ø; y≠Ø; x<=y; По принципу вложенных отрезков существует c<=[a_n;b_n] для любого n принадлежащего N=>a_n<=c<=b_n; По условию {[a_n;b_n]}-стягивающаяся>(b_n-a_n)→0; Из того что a_n<=c<=b_n следует что a_n-c=>b_n-c=>0 и 0<=c-a_n<=c-b_n отсюда следует что lim (b_n-c)=0 и lim (c-a_n)=0 следовательно b_n-c - ∞-малая величина; c-a_n - ∞-малая величина; следовательно lim b_n=c; lim a_n=c;

13. Теорема Больцано – Вейерштрасса о существовании последовательности.

Любая сходящаяся последовательность ограниченна.

Теорема. Из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся последовательность.

Доказательство. {x_n}-ограниченна существует такие a,b принадлежащие R(a<b) такие что a_n<=x_n<=b_n для любого n принадлежащего N. У любой числовой последовательности ∞-ое множество членов. Разделим отрезок пополам получим два отрезка и на одном из них будет ∞-ое множество членов последовательности. Этот же отрезок разделим пополем на одном из этих отрезков будет ∞-ое множество членов последовательности {x_n} и т.д.

1) Вложенная последовательность отрезков;

2) Каждый из отрезков содержит ∞-ое число членов последовательности x_n;

3) Подсчитываем число отрезков d_n=b_n-a_n=(b-a)/2ⁿ→0=>{[a_n,b_n]}-стягивающиеся. Следовательно по принципу стягивающихся отрезков существует единственное x₀ принадлежащее a_n,b_n из отрезка (a;b).

Построим последовательность членов данной последовательности {x_n} сходящимся к x₀ у отрезка ∞-ое множество членов последовательности {x_n}, возьмём любой член последовательности {x_n} попавший в этот отрезок x_n1. Следовательно x_nk→x₀ при k→∞.

14. Критерии Коши.

Последовательность {x_n} называется фундаментальной или последовательностью Коши если выполняется следующие условие Коши. Для любого E>0 существует N для любого n, m=N выполняется |x_n-x_m|<E; Из этого следует что для любого E>0 существует N для любого n>N для любого R (натуральное число) принадлежащего N выполняется |x_n+R-x_n|<E.

Лемма 1. Всякая фундаментальная последовательность ограниченна.

Доказательство. Пусть {x_n}-фундаментальна тогда в силу условия (для любого E>0 существует N для любого n, m=N выполняется |x_n-x_m|<E) для E=1 выполняется существует N для любого n, m>N выполняется |x_n-x_m|<1 возьмём m₀>N тогда |x_n-x_m0|<1 для любого n принадлежащего N x_m0-1<x_n<x_m0+1 из этого следует что {x_n}-ограничена почти для любого n.

Лемма 2. Если некоторая подпоследовательность фундаментальной подпоследовательности сходится то и сама фундаментальная последовательность сходится.

Доказательство.

1) {x_n}-фундаментальна;

2) Существует {x_nk} содержится {x_n} выполняется {x_nk}-сходится, из этого следует что {x_n}-сходится E>0, то {x_n}-фундаментальна из этого следует что для любого E/2>0 существует N₁ принадлежащее N что для любого m>N₁ выполняется |x_n-x_m|<E/2; {x_nk}-сходится из этого следует что существует b принадлежащее |R (Все действительные числа); lim x_nk=b из этого следует что для любого E/2>0 существует K принадлежащее N для любого n выполняется |x_nk-b|<E/2 для любого k>K(каппа); N=max {N₁;K},k-фиксирована, k₀>N из того что k₀>N следует n_k0=>k₀>N из этого следует k₀>N₁ и n_k0>K из этого следует для любого n>N выполняется |x_n-x_nk0|<E/2 и |x_nk0-b|<E/2 из этого следует что для любого n>N выполняется |x_n-b|=|x_n-x_nk0+x_nk0-b|<= |x_n-x_nk0|+|x_nk0-b|<E из этого следует что для любого E>0 почти для любого n>N выполняется |x_n-b|<E из этого следует что последовательность {x_n} сходится и lim x_n=b.

Теорема. (Критерий Коши для последовательности). Пусть {x_n}-числовая последовательность {x_n}-сходится тогда и только тогда когда {x_n}-фундаментальна.

Доказательство.

1) Последовательность {x_n} сходится следовательно {x_n}-фундаментальна. Пусть E>0 {x_n}-сходится из этого следует что существует B=|R что lim x_n=b из этого следует что почти для любого n,m выполняется |x_n-b|<E/2 и (x_m-b)<E/2 из этого следует что почти для любого n,m выполняется |x_n-x_m|=|x_n-b-b+x_m|<=|x_n-b|+|-(x_m-b)|=|x_n-b|+|x_m-b|<E тоесть получим что для любого E>0 почти для любого n,m выполняется |x_n-x_m|<E из этого следует что {x_n}-фундаментальна.

2) {x_n}-фундаментальна из этого следует что {x_n}-сходится из этого следует что существует {x_nk} содержится в {x_n} что выполняется {x_nk}-сходится из этого следует что существует b принадлежит R выполняется lim x_nk=b; {x_n}-финальная и {x_nk}-сходится следовательно в силу леммы 2 следует что {x_n}-сходится и lim {x_n}=lim {x_nk}=b.

15. Понятие функции. Элементарные функции.

Постоянной величиной называется величина сохраняющая одно и тоже значение если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса то в этом случае она называется параметром. Переменой называется величина которая может принимать разные числовые значения. Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие определённый элемент y из множества Y то говорят что на множестве X задана функция y=f(x) при этом x называется независимой переменой или аргументом y-зависимая переменная буква f обозначает знак соответствия множество X называется областью определения функции, множество Y областью значения функции.

Элементарные функции. Функция называется явной если она задана формулой в которой правая часть не содержит зависимой переменой. Функция аргумента x называется не явной если она задана уравнением F=f(x,y)=0 не разрешённым относительно зависимой переменной.

Из основных функций новые аргументы могут быть получены двумя способами, при помощи:

1) Алгебраических операций;

2) Операций образования сложной функции.

К основным элементарным функциям относится:

1) Степенная функция y=xⁿ где n принадлежит N

16. Понятие элементарной функции. Обратная функция.

Функции построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций сложных функций называется элементарными функциями.

Обратная функция: Пусть y=f(x) есть функция от независимой переменой x определённой на множестве X с областью значений y поставим соответствие x принадлежит X единственное значение y при котором f(x)=y тогда получим функцию x=Fi(y) определена на множестве Y с областью значений x называется обратной матрицей т.к. обычно независимую переменную обозначают через x, а функцию через y то обратная к функции y=f(x) примет вид y=Fi(x) обратную функцию можно обозначить y=f^-1(x) графики взаимообратных функций симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

17. Предел функции.

Рассмотрим функцию y=f(x) определённую на некотором интервале и содержащем точку x=a. A-число называется пределом функции y=f(x) при х→A если для любого Fi>0 существует Q>0 что при всех x удовлетворяющих условию 0<|x-a|<Q выполняется неравенство |f(x)-A|<E обозначение предела функции f(x) при x→a записывается как lim_x→af(x)=A

Рассмотрим односторонние пределы функции:

1) Предел слева lim_x→a-0f(x)=A₁ (x→a становясь меньше);

2) Предел справа lim_x→a+0f(x)=A₂ (x→a становясь больше);

Если a=0 то записывают

lim_x→-0f(x)=A₁ слева

lim_x→+0f(x)=A₂ справа

Если односторонние пределы равны тоесть lim_x→a-0f(x)= lim_x→a+0f(x)=A то предел A в точке х=0 существует и равен односторонним пределам lim_x→af(x)=A. Если односторонние пределы различны A₁≠A₂ или хотя бы один из них не существует, то не существует предел функции в точке x=a.

18. Теорема о пределах функции.

Теорема. Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке x₀ пределы B и C. Тогда функции f(x)±g(x); f(x)*g(x); f(x)/g(x); (при с≠0) имеют в точке x₀ пределы равные соответственно B±C; B*C; B/C.

Доказательство. Пусть {x_n} (x_n≠x₀) – произвольная сходящаяся к x₀ последовательность значений аргумента функции f(x) и g(x). Соответствующие последовательности {f(x_n)} и {g(x_n)} значение этих функций имеют пределы B и C. Но тогда в силу последовательности {f(x_n)±g(x_n)}; {f(x_n)*g(x_n)}; {f(x_n)/g(x_n)}; (при c≠0) имеют пределы соответственно B±C;B*C;B/C; Согласно определению предела функции это означает что lim_x→x0[f(x)±g(x)]=B±C; lim_x→x0[f(x)*g(x)]=B*C; lim_x→x0[f(x)/g(x)]=B/C.

Теорема. Пусть функция f(x),g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки x₀ и функции f(x), h(x) имеют в точке x₀ предел равный A тоесть lim_x→x0f(x)=lim_x→x0h(x)=A. Пусть кроме того выполняется неравенство f(x)<=g(x)<=h(x) тогда lim_x→x0g(x)=A.

Доказательство. Пусть {x_n} (x_n≠x₀) – произвольная сходящаяся к x₀ последовательность значений аргумента функции f(x) и h(x). Соответствующие последовательности {f(x_n)} и {h(x_n)} значение этих функций имеет предел A тоесть f(x_n)→А, h(x_n)→A при n→∞. Используя неравенство данные в условии теоремы можно записать f(x)<=g(x)<=h(x); lim_x→x0f(x)<= lim_x→x0g(x)<= lim_x→x0h(x) – 1-ый и 2-ой пределы стремятся к А следовательно lim_xn→x0g(x_n)→A; lim_x→x0g(x)=A.

19. Замечательные пределы.

1-й замечательный предел. lim_x→0(sin x)/x=1;

Пусть OB подвижный радиус образующий с осью ox угол απ/2>x>0; Из геометрического изображения следует S_ΔoAB<S_{сечения oAB}<S_ΔoAC;

S_ΔoAB=1/2OA*OB*sin x=1/2 R²*sin x;

S_{сечения Oab}=1/2*R²*x;

S_ΔoAC=1/2*OA*AC=1/2*R²*tg x;

1/2 R²*sin x<1/2*R²*x<1/2*R²*tg x;

sin x<x<sin x/cos x;

1<x/sin x<1/cos x;

1<(sin x)/x<cos x;

Функции cos x и (sin x)/x – чётные следовательно полученные неравенства справедливы при x принадлежащим интервалу (-π/2;0) переходя к пределу получим lim_x→0cos x=1;

по теореме следует что lim_x→0(sin x)/x=1

2-ой замечательный предел lim_x→∞(1+1/x)^x=e;

Числом е называется предел числовой последовательности lim_x→∞(1+1/x)^x=e;

20)Не прерывность функции

Опр.

Фун-я F(x) называется не прерывной в точке х₀, если предел функции и её значение в этой точке равны т. е. lim_x→x0 F(x)= F(x). Функция F(x) является не прерывной в точке х₀, если для ε>0 существует такое δ>0, что х удовлетворяющих неравенству │х-х₀│<δ выполняется неравенство

│ F(x)- F(x₀) │< ε

ε>0 δ>0 x: │x-x₀│< δ/│ F(x)- F(x₀) │< ε

Если lim_x→x0 F(x)= F(x) (lim_x→x0 F(x)= F(x+0)), то функцию F(x) называется не прерывной в точке х₀ (слева),(справа).

Теорема.

Пусть функции F(x) и g(x) не прерывны в точке х₀, тогда функции

F(x) ± g(x), F(x) · g(x), F(x)/g(x), так же непрерывны в точке х₀.

Док-во

Т.к. функции F(x) и g(x) непрерывны в точке х₀, то они соответственно имеют предел в точке х₀ = F(x₀) и g(x₀), по теореме имеем F(x₀) ± g(x₀),

F(x₀)·g(x₀), F(x₀)/g(x₀), следовательно по определению функции

F(x) ± g(x), F(x)·g(x), F(x)/g(x), (g(x)не равна 0) - непрерывны в точке х₀.

21) 1)Классификация точек разрыва функции.

Опр.

Точка х₀ называется точкой разрыва функции F(x), если F(x) в точке х₀ не является не прерывной.

Разрывы функции классифицируются следующим образом.

1. Разрывы первого рода.

Точка х₀ называется точкой разрыва первого рода функции F(x), если в этой точке F(x) имеется конечный левый и правый пределы, не равные друг другу, т.е. lim_x→-x0 F(x)не равен lim_x→+x0 F(x)

2. Разрывы второго рода.

Точка х называется точкой разрыва второго рода функции F(x), если в этой точке функция F(x) не имеет по крайней мере одного из односторонних крайних пределов или одним из односторонних пределов яв-ся бесконечность.

2) Теорема о функции не прерывной на отрезке.

Опр.

Функция F(x) называется ограниченной на отрезке АВ, если существует такое число М>0, что из любого х, принадлежащего отрезку АВ, выполняется неравенство │ F(x)│≤M.

22)Первая теорема Больцано – Вейерштрасса. Лемма.

Тео-ма

Если функция F(x) определена и непрерывна на отрезке АВ, то она ограничена на этом отрезке.

Лемма.

Функция F(x), непрерывна в точке х₀, ограниченна на некоторые её окрестности.

Док-во леммы.

Пусть ε=1, тогда по определению непрерывности в точке х₀

ε=1 δ>0 x :│x-x₀│< δ: │F(x)-F(x₀)│<1

Используя это неравенство получаем:

│F(x)│= │F(x)-F(x₀)+F(x₀)│<1+│F(x₀)│, │F(x)│<M, где М=1+│ F(x₀)│.

Док-во теоремы.

Предположим обратное, т.е. допустим что функция F(x) неограниченна на отрезке ав, разделим отрезок ав пополам. Тогда по крайней мере на одном из двух полученных отрезках функция F(x) не ограничена.

Обозначим этот отрезок [а₁;в₁], далее разделим отрезок а₁;в₁ пополам и обозначим через а₂;в₂ тот отрезок, на которм функция F(x) не ограничена, продолжая этот процесс неограниченно, получаем последовательность:

в[а;в] вложено[а₁;в₁]вложено [а_n;в_n]… вложенных отрезков, на каждом из которых F(x) неограниченна, причём в_n-а_n= в-а/2ⁿ →0 при n→∞/

по теореме о вложенных отрезках существует точка С, принадлежащая всем отрезкам. Функция F(x), по условию определена и непрерывна в точке С => согласно доказанной лемме в некоторой окрестности точки С, она ограничена. При достаточно большой n, в эту окресность попадает отрезок а_nв_n, на котором функция F(x) так же ограничена.

Но это противоречит тому, что функция F(x) не ограничена на каждом из вложенных отрезков, => теорема доказана.

Замечание.

Теорема не верна, если отрезок ав заменить интервалом.

23)Вторая теорема Больцано – Вейерштрасса.

Если функция F(x) непрерывна на отрезке ав, то она достигает на этом отрезке своих точных граней, т.е. для х₁ и х₂ принадлежащих ав выполняется:

F(x₁)=М=Snp F(x)и F(x₂)=m=Inf_[а;в](x)

Док-во

Т.к. Функция F(x) непрерывна на отрезке ав, то по первой теореме Больцано – Вейерштрасса она ограничена на этом отрезке, => существует точная верхняя М и точная нижняя m грани функции F(x) на отрезке ав.

Функция F(x) достигает М, т.е. существует такая точка х₁ принадлежащая ав,

что F(x₁)=М. Предположим противное: пусть функция F(x) не принимает ни в одной точке отрезка ав значение равное М, тогда для всех х из отрезка ав справедливо неравенство F(x)<M.

Рассмотрим на отрезке ав вспомогательную, всюду положительную функцию

F(x)=1/M- f(x) функция F(x) непрерывна, как частное двух не прерывных функций. В этом случае по первой теореме Больцано – Вейерштрасса функция f(x) ограничена, т.е. найдётся µ>0, такое что х принадлежащее [ав]

F(x)=1/(М- f(x)) ≤ µ, откуда

f(x) ≤ М-(1/ µ), таким образом число М-(1/ µ)<М, является верхней гранью f(x) на отрезке [ав], но это противоречит тому, что число М является точной верхней гранью это противоречие доказывает, что существует точка х₁ из отрезка [ав], такая что f(x₁)=М, аналогично, что функция f(x) достигает на отрезке ав своей точной нижней грани отрезка m.

Замечание 1.

Не прерывная на одном отрезке функция имеет на этом отрезке максимальные и минимальные значения.

Замечание 2.

Разность между наибольшим и наименьшим значением непрерывной функции f(x) на отрезке [ав] называется колебанием не прерывной функции на этом отрезке и обозначается

W=М-m, где

М= _mах f(x), m=_min f(x)

24)Опр. Функция F(x), называется равномерно-непрерывной на промежутке Х, если для любого ε>0 существует δ>0, такое что для любых двух точек х′ и х″ из промежутка Х, удовлетворяющих неравенству│х″-х′│< δ, выполняется неравенство: │ F(х″) –F(х′)│< ε.

Теорема о равномерной непрерывности функции.

Если функция F(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она равномерно-непрерывна на нем.

Док-во. Докажем сначала, что если функция f(x) не прерывна на отрезке [a;b], то равно мерно-непрерывна на нём. Из непрерывности функции следует, что для δ >0 (a;b) можно разделить на конечное число отрезков, любые два из которых не имеют общих точек, или имеют только одну граничную точку. На каждом из которых для любых точек

x’,- x’’|f(x’) – f(x’)| <E. Предположим обратное, т.е. допустим, что существует ς>0 для которого такое разбиение отрезков (а;в) невозможно. Разделим отрезок [a;b] пополам выберем тот полученный отрезок, для которого такое разбиение невозможно, обозначим его [a₁;b₁]. Разделим теперь [a₁;b₁] пополам и выберем тот из них, для которого такое разбиение невозможно, продолжая этот процесс получим последовательность вложенных отрезков [a;b]вложено[a₁;b₁] вложено … вложено [a_n;b_n] обладающих условием, что не один из них нельзя разбить на конечное число отрезков, на каждом из которых для любых 2х точек x’,x’’, будет выполнятся x’, x’’ |f(x);f(x’)|<E. По теореме о вложенных отрезках существует точка С, принадлежащая всем отрезкам и т.к. отрезок f(x) непрерывна в точке с, то для рассматриваемого Е найдется δ, такое, что |f(x-f(c))|<E/2 для любого х из δ окрестности точки С будет выполняться неравенство

|f(x’’) –f(x’)|=|f(x’’)-f(c)|+f(c)-f(x’)|<=|f(x’’)-f(c)|+|f(c)-f(x’)|<E/2+E/2=E.

Принимая во внимание 1 и последнюю части неравенства получаем |f(x’’)-f(x’)|<E. В δ окресносте точки с предостаточно большом М попадает отрезок (a_n;b_n) и => для любых 2х точек x’ и x’’ этого отрезка справедливо неравенство, а это противоречит выбору последовательности вложенных отрезков. По только что доказанному для любого Е>0 существует разбиение отрезка [a;b] на конечное число отрезков, в каждом из которых разность между любыми 2мя значениями фун f(x) по абсолютной величине Е/2, обозначим через δ длину наименьшего из отрезков разбиения. И посмотрим любые 2 точки х’ и x’’ отрезка [a;b] такие что |x’’-x’|<δ, возможны 2 случая: 1) точки x’ и x’’ – принадлежат одному отрезку разбиения и 2) когда они могут принадлежать отрезам разбиения. 1) в первом случае |f(x’’)-f(x’)| <E/2=E, во 2ром, обозначая через х₀ общую граничащую точку соседних отрезков имеем: |f(x’’)-f(x’)|=|f(x’’)-f(x₀)+f(x₀)-f(x’)|<=|f(x’’)- f(x₀)+f(x₀)-f(x’)|< E/2+E/2=E.

Таким образом для любого Е>0 найдется δ>0 такое, что для любых 2х точек x’ и x’’ из отрезка [a;b]; удовлетворяющих неравенству |x’’-x’|<δ |f(x’’)-f(x’)|<E●

Следствие из Т.

Пусть функция f(x) непрерывна на отр [a;b], тогда для любого E>0 сущ δ>0 такое, что если отрезок (a;b) произвольно разбит н конечное число отрезков с длиной < δ, то на каждые из них колебание Е функции f(x) будут <E.

Замечание теорема не верна, если отрезок [a;b] заменить интервалом или полуинтервалом.

25)Понятие производной.

Пусть на некотором промежутке х определена функция у=f(x), выберем произвольную точку х. из промежутка Х и зададим аргумент х в точке х₆ произвольное приращение ▲х, такое, что точа х₀+▲Е{x} функция получит приращение ▲y=f(x₀+▲x)-f(x₀)

Опр. Производной функции y=f(x) в точке x₀ называется предел при ▲х стремящейся к 0, отношение приращения функции в этой точке приращению аргумента, при условии, что предел существует

у′=lim_▲x→0 ▲у/▲х= lim_▲x→0f(x₀+▲x)- f(x₀)/ ▲х

Если для некоторого значения х₀ выполняется условие, что

lim_▲x→0 ▲у/▲х=+∞

lim_▲x→0 ▲у/▲х=-∞

То говорят, что в точке х₀ функция имеет бесконечную производную знака + или знака -.

Если функция f(x) имеем конечную производную в каждой точке х из промежутка Х, то производную f '(x), рассматрива как функцию от х определ. на пром.

Производная фун. y= f(x), может быть найдена по следующей схеме:

1. дадим аргументу х приращение, отличное от n найдем наращенное значение функции ▲y = f(х₀+▲x)

2. составим отношение ▲y/▲x

3. Находим придел этого отношения при ▲х->0:

y'= lim_▲x→0 ▲у/▲х (Если он существует)

2)Геометрический смысл производной.

Пусть функция у = f(x) определена на (a;b) и пусть точка м на графике функции соответствует значению аргумента х₀, а точка Р значению х₀+▲х, проведем через точки М и Р прямую и назовем ее секущей

Обозначим через φ (▲x) угол между секущей и осью ox. Этот угол зависит от ▲x, если существует предел lim_▲x→0 (▲х)= φ₀

то прямую с угловым коофициентом h равным tg φ₀, проходящую через точку М с координатами (х₀;f(х₀)) называют предельным положением секущей МР, при ▲х -> 0.

Опр. Касательной S графику функции у = f(x) в точке М будем называть прельное положение секущей МР, при ▲х стремящейся к нулю из определения следует, что для существования касательной достаточно, чтобы существует предел, причем предел φ₀ = углу к оси Ох.

26) Производная основных элементарных функций

27)Производная log функции.

у = ln x, воспользуемся схемой нахождения производной:

1) ▲y = ln(x + ▲x) – ln (x)=log((x+∆x)/x)=ln((1+∆x)/x)

2) ▲y/ ▲x = 1/▲x * ln(1+ ▲x/x)

3) y= lim_▲x→0 1/▲х* ln(1+ ▲x/x)

Обозначим ▲x/x = y, отсюда ▲x= x*y

a) y’=lim_▲x→0 1/xy* ln(1+y)=1/x lim_y→01/y ln*(1+y)=1/x lim_y→0ln(1+y)^1/y

В силу не прерывности логарифмической функции меняем местами символы пределов и логарифмов

y’=1/х ln(lim_y→0((1+у)^1/4)=1/х ln е =1/х

б)у=log_a^x

y’=( log_a^x)’=( lnx/ lna)’=(1/ lna)(lnx)’=1/(x lna)

28)Производная показательной функции.

а) у=е^х

Прологорифмируем обе части равенства по основанию е, получим

eny=x

Дифференцируя обе части по переменной х, необходимо учитывать, что

lny-сложная функция.

(lny)′=x, или у′/у=1

у′=у=>y′=e^x

б)у=а^х

у′= а^х lnax′

29) Производная тригонометрических функций.

(cosx)′=-sinx

(sinx)′= cosx

(tgx)′=1/cos²x

(ctgx)′=-1/sin²x

(arctgx)′=1/1+x²

(arcctgx)′=

(arcsin)′=1/√1-x²

(arccos)′=

Теорема:

Если функция равная f(x) дифференцируема в точке х₀ , то она в этой точке не прерывна.

Док-во

По условию функция у= f(x) дифференцируема в точке x₀, т.е.

lim_∆x→0∆у/∆х= f(x₀)′, где f(x₀) – постоянная величина, независимая от ∆х, тогда на основании теоремы связи бесконечно малых величин с пределами функции, можно записать ∆у/∆х= f(x₀)′+α(∆х), где α(∆х) бесконечно малая величина при ∆x→0 или ∆у= f(x₀)′ ∆х+ α(∆х)∆х при ∆x→0 на основании бесконечно малых величин видно, что и ∆у→0, следовательно фун-я у=f(x) в точке х₀ яв-ся непрерывной

30)Производная сложной и обратной функции.

Правила дифференцирования.

1. Производная постоянной =о (С′=0)

2. Производная аргумента = 1 (х′=1)

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемой функции равна такой же сумме производных их числа.

4. Производная произведения 2-х дифференцируемых функций = произведению производной 1-го сомножителя на 2-й + произведение

1-го сомножителя на производную 2-го. (UV)′=U′V+UV′

Следствие1.

Постоянный множитель можно выносить за знак производной. (CU)′=CU′

Следствие2.

Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные. (UVW)′=U′VW+UV′W+UVW′.

5. Производная частного 2-х дифференцируемых функций может быть найдено по формуле: (U/V)′=U′V+UV′/V²

Пусть переменная у есть функция от переменной u

(y=F(u)), а переменная u в свою очередь функция от независимой переменной х, т.е. задана сложная функция у=F[φ(x)].

Теорема.

Если у=F(u′) и u=I(x) – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу u умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х т.е.

y′= F(u)u

Док-во

Дадим независимой переменной х приращение ∆х не равной нулю, тогда функция u=F(x) и y=F(u) соответственно получаем приращения ∆u и ∆y. Предположим, что ∆у отлично от 0, тогда в силу дифференцируемости функции у=F(u), можно записать lim_∆u→0∆у/∆u=F′(u), где F′(u)-функция, независящая от ∆u. На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функции имеем:

(*)∆у/∆u=∆у/∆u=+α(∆u), где α(∆u) – бесконечно малая при ∆u→0, откуда

∆у= F′(u) ∆u+ α(∆u) ∆u.

Это равенство будет справедливо и при ∆u=0.

Если предполагать, что α(∆u=0)=0, разделим обе части последнего равенства на ∆х неравное 0, получаем:

∆у/∆х= F′(u) (∆u)/∆х + α(∆u) (∆u)/∆x.

т.к. по условию функция u=φ(х) – дифференцируема то она непрерывна в точке х, следовательно, при

∆х→0; ∆u→0 и α(∆u)→0, переходя к пределу – получаем

у′= lim_∆x→0∆u/∆х= F′(u)u′.

Замечание.

Если ограничится случаями, при ∆х не равному 0 и (∆u) не равному 0,

Док-во теоремы можно привести проще. Исходя из очевидного равенства

∆у/∆х=(∆у/∆u) (∆u/∆х) и переходя в нём к пределу при ∆х→0.

Перейдём к рассмотрению производной обратной функции. Пусть у= F(х) дифференцируемая и строго монотонная функция на некотором промежутке Х, если переменную у рассматривать, как аргумент, а х – как функцию, то новая функция х=F(у) является обратной к данной, не прерывной на промежутке у.

Теорема.

Для дифференцируемой функции с производной = 0, производная обратной функции = обратной величине производной данной функции т.е.

х′_у=1/у′_х

Док-во

По условию функция = F(х) дифференцируема и у′(х)=F(х) не равно 0.

Пусть ∆у не равно 0, приращение независимой переменной у, ∆х- соответствующее приращение функции х=F(у), тогда справедливо равенство:

∆х/∆у=1/(∆у/∆х), переходя к пределу ∆у→0 и учитывая, что в силу непрерывности обратной функции ∆х→0, получим

lim_∆у→0∆х/∆у=1/ (lim∆х/∆у),

х′_у=1/у′_х.

31) Экономический смысл производной

Рассмотрим понятие производной. Издержки производства – у, а кол-во выпускаемой продукции - х. Пусть ∆х прирост продукции, ∆у прирост издержек производства. Тогда ∆у/∆х это приращение издержек производства на едцу продукции. y’=lim∆у/∆х(∆х→0)-предельные издержки производства и характеризует дополнительные затраты на производство ед-цы дополнительной продукции. Предельные издержки зависят от уровня производства . С помощью производной определяются не постоянные производственные затраты, а лишь переменные. Так же с помощью производной можно определить предельную выручку, предельную полезность производства, а так же другие предельные величины. Применение дифферинцыального исчисления к исследованию экономических объектов и процессов на основе анализа этих величин, получила название предельного анализа. Предельные величины характеризуют не состояние, а процесс изменения экономического объекта, т. е. скорость изменения экономического процесса.

32) Пусть функция y=f(x) определена на промежутке X и дифференцируема в некоторой точке x из промежутка Х. Тогда существует конечная производная

lim_∆у→0∆х/∆у=F′(x)

На основе теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций можно записать. ∆у/∆х=f’(x)+α(∆x), где (∆x) – бесконечно малая величина, при ∆x→0. Тогда следует ∆у= f’(x) ∆x +α(∆x) ∆x (1), таким образом приращение функции состоит из 2х частей:

1) линейного отношения ∆x;

2) не линейного (бесконечно малая).

Дифференциалом функции называется линейная относительная часть (∆x) приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной.

dy=f’(x) *∆x. Т. Е. dy=f’(x)dx.

Свойства дифференциалов:

1) dc=0,

2) d(cu)=cdu,

3)d(u+(-)v)=du+(-)dv,

4) d(u*v)=vdu+udv,

5) d(u/v)=(vdu-udv)/v*v

33)Инвариантность Форм дифференциала.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Рассмотрим функцию у=f(u), где u=φ(х) является функцией от х, т.е. рассмотрим сложную функцию у=f(φ(х)). Если у=f(u) и u=φ(х) дифференцируемые функции от свойства аргументов, то производная сложной функции равна y’=f’(u)u’, тогда дифференцируемая функция равна: dy=f’(x)dx=f’(u)u’dx=f’(u)du, тогда du=u’dx, тогда получаем de=f’(u)du. Последнее равенство обозначает то, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от переменной подставить функцию от зависимой переменной, это свойство получило название инвариантности.

Применение к приблизительным вычислениям.

Из того что ∆y=dy+α(∆x)∆x, т.е. приращение функции ∆у от ее дифференциала отличается на бесконечно малую более высокого порядка чем dy=f’(x)dx, поэтому при значительно малых значениях ∆х, dy≈∆y, или f(x+∆x)-f(x)≈f’(x)∆, получаем f(x+∆x)≈f(x)+f’(x)∆x. Пример: Вычислить у=⁴√16,64, получим формулу для вычисления корней n порядка: f’(ⁿ√x)= ⁿ√x/(x*n). Тогда ⁿ√x+∆x≈ ⁿ√x+ⁿ√x/(x*n)* ∆x= ⁿ√x*(1+(∆x/xn)).

Вычисляем ⁴√16,64=⁴√16*(1+0,64/64)=2,02.

34)Ранее мы рассматривали производную f’(x) функции f(x) называемой производной первого порядка, но производная так же может иметь производную. Производные производных называются производными n порядка и обозначаются: f’’(x), f’’’(x), f⁽⁴⁾, f⁽ⁿ⁾.

35)Формула Лейбница.

Для н-ной производной произведения 2-х функций.

Пусть y=u*v, где u и v некоторые функции от переменной x. Имеющие производную любого порядка, тогда y’=u’v+v’u, y’’=u’’v+2u’v’+uv’’, y’’’=u’’’v+3u’v’’+3u’’v’+uv’’’. Правые части аналогичны степеням, но вместо степени стоит определитель порядка производной, тогда для полного совпадения с формулой порядков сами функции можно рассматривать как производные нулевого порядка. y⁽ⁿ⁾=(uv)⁽ⁿ⁾=u⁽ⁿ⁾v+nu^(n-1)v’+(n(n-1)/2!)*u^(n-2)v’’+…+n(n-1)…((n-k+1)/k!)*u^(n-k)v^(k)+…+uv⁽ⁿ⁾ (1).формула (1) называется формулой Лейбница, докажем ее справедливость методом математической индукции: 1) При n=1 эта формула выглядит y’=(uv)’=u’v+v’u, 2) При n=2 и n=3 наша формула также справедлива. 3) предположим справедливость формулы для некоторого n, докажем справедливость формулы для некоторого n+1. Получим y⁽ⁿ⁺¹⁾=u⁽ⁿ⁺¹⁾v+(n+1)u⁽ⁿ⁾v’+(n+(n(n-1))/2!)u^(n-1)v’’+…+[(n(n-1)…(n-k+2))/(k-1)!+ (n(n-1)…(n-k+1))/(k)!]u^(n-k+1)v^(k)+…+uv⁽ⁿ⁺¹⁾. Запись в квадратных скобках то же что и ((n+1)n(n-1)…(n-k+2))/k!. C учетом полученного значения квадратных скобок подставим полученное значение в формулу. Получим y⁽ⁿ⁺¹⁾=u⁽ⁿ⁺¹⁾v+(n+1)u⁽ⁿ⁾v’+(n+(n(n-1))/2!)u^(n-1)v’’+…+(((n+1)n(n-1)…(n-k+2))/k!)u^(n-k+1)v^(k)+…+uv⁽ⁿ⁺¹⁾.л1окажем справедливость формулы для некоторого рого справедливость методом математической индукции: !0впадения с формулой пор

36)Дифференциалы высших порядков.

Для удобства наряду с dx и dy используют обозначения δx и δy. Пусть функция f(x) дифференцируема в каждой точке промежутка. Ее дифференциал равен dy=f’(x)dx, который называется дифференциалом 1-го порядка и является функцией 2-х переменных аргумента х и его дифференциала dx. Если мы будем рассматривать dx в выражении dy, как постоянный множитель, тогда фун-я dy представляет собой функцию только аргумента х и её дифференциала в точке х .

При рассмотрении дифференциала dy будем использовать обозначения

т.е. δ(dy)= δ[f’(x)dx]= (f’(x))’ δx= f’’(x) dx δx.

Дифференциал δ(dy) в точке х взятый при δx=dx наз-ся диф-м 2-го порядка, функции f(х) в точке х и обозначается

d²y= f’’(x)d²x

В свою очередь диф-л δ (d²y), взятый при δx=dx – наз-ся диф-м 3-го порядка

фун-и f(x) в точке х и обозначается d³(у) и т.д.

Диф-л δ (d^(n-1)y), взятый при δx=dx – наз-ся диф-м n-го порядка

фун-и f(x).

d⁽ⁿ⁾y=f⁽ⁿ⁾(x)( dx)ⁿ

37)Параметрическое задание функции.

Пусть даны две функции x=φ(t) и y=g(t), одной, независимой переменной t, определённые и непрерывные на одном промежутке t.

Если у=φ(t) – строго монотонна, то обратная к ней функция

t= φ(x) также не прерывная и строго монотонная, поэтому у можно рассмотреть, как фун-ю зависящую от пер-й х по средствам переменной t, называемой параметром.

у= φ[φ(х)], в этом случае говорят, что функция у(х), задана параметрически.

38)Дифференцирование функции, заданной параметрически.

Предположим, что функция у= x(t) и y= φ (t) имеют производные, причём φ′ (t)не равна 0 на некотором промежутке. Из последнего неравенства вытекает строгая монотонность функции х= φ(t) по теореме о производной обратной функции t= φ(x) имеет производную φ′ (x)=1/ φ′(t), по теореме о производной сложной функции у= φ[φ(x)], имеем производную у′= φ′[φ(x)]* φ′(x), следовательно у′= φ′(t)/ φ′(t),

Где t= φ(x).

1) Дифференциальные теоремы о среднем.

Если для всех точек x принадлежащих X выполняется неравенство f(x)<=f(x₀) или f(x)=>f(x₀), то говорят что функция f принимает в точке x₀ наибольшее (наименьшее) значение на множестве X.

Теорема Ферма. Если функция определена в некоторой окрестности точки, принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) значение и имеет конечную или определённого знака бесконечную производную, то эта производная равна 0.

2) Теорема Ролля, Лагранджа и Коши о средних значениях.

Теорема Ролля. Если функция f:

1) непрерывна на (a,b);

2) имеет в каждой точке интервала [a,b] конечного или определённого знака бесконечную производную;

3) принимает равные значения на концах (a,b) f(a)=f(b), то существует по крайней мере одна точка S принадлежащая [a,b] такая что f’(S)=0.

Теорема Лагранджа. Если функция f:

1) непрерывна на (a,b);

2) имеет в каждой точке интервала [a,b] конечного или определённого знака бесконечную производную;

3) то существует такая точка S принадлежащая [a,b] такая что f(b)-f(a)= f’(S)*(b-a) – формула приращений Лагранджа.

Следствие 1: Если функция непрерывна и имеет производную равную 0 во всех точках некоторого промежутка, то она на ней постоянна.

Следствие 2: Если функция непрерывна в некоторой окрестности точки и дифференцируема в проколотой окрестности этой же точки и существует конечный или бесконечный предел.

Теорема Коши. Если функция f и g:

1) непрерывна на (a,b);

2) дифференцируема в каждой точке интервала [a,b];

3) g’(x)<>0 для любого х принадлежащего (a,b), то существует такая точка S принадлежащая [a,b] такая, что (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(S)/g’(S).

3) Раскрытие неопределённости по правилу Лопиталя.

1. Неопределённость вида 0/0:

1) если функции f и g определы в окрестности x₀, f(x₀)=g(x₀)=0 существуют конечные производные f’(x₀)<>0 и g’(x₀)<>0, то существует lim при x→x₀ f(x)/g(x)= f’(x₀)/g’(x₀);

2) если:

а) функции f и g дифференцируемы на (a,b);

b) g’(x)<>0 для любого х принадлежащего (a,b);

с) lim при х→a f(x)=lim при х→a g(x)=0;

d) существует конечный или бесконечный предел lim при x→x₀ (x₀)/g’(x₀), то существует предел lim при x→x₀ f(x)/g(x), причём эти пределы равны.

2. Неопределённость вида ∞/∞:

а) функции f и g дифференцируемы на (a,b);

b) g’(x)<>0 для любого х принадлежащего (a,b);

с) lim при х→a f(x)=lim при х→a g(x)=∞;

d) существует конечный или бесконечный предел lim при x→x₀ (x₀)/g’(x₀), то существует предел lim при x→x₀ f(x)/g(x), причём эти пределы равны.

4) Признак монотонности функции.

Теорема. Если функция f(x) дифференцируема на (a,b) и f’(x)=>0 (f’(x)<=0) на (a,b), то функция не возрастает (не убывает) на (a,b).

Замечание. f’(x)>0 (f’(x)<0) на (a,b), то функция возрастает (убывает) на (a,b).

5) Отыскание точек локального экстремума.

Точка x₀ называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если для всех х из окрестности ∂ точки x₀ выполняется неравенство f(x)<f(x₀) (f(x)>f(x₀)) при x<>x₀.

Теорема (Необходимое условие локального экстремума). Если функция f(x) имеет в точке x₀ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке то f’(x₀)=0.

Теорема (Достаточное условие локального экстремума). Если функция f(x) при переходе через точку x₀ меняет свой знак с – на + то точка x₀ – локальный минимум, а если с + на – то точка x₀ – локальный максимум.