31 Понятие о центральной предельной теореме. Локальная и интегральная теоремы Муавра—Лапласа, условия их применимости. Примеры.

Теорема(локальная теорема Муавра-Лапласа).Если вероятность р наступления события A в каждом испытании постоянна и отличается от 0и 1, то вероятность P_m,n того, что событие А наступит m раз в п независимых повторных испытаниях при достаточно большом числе п, приближенно равна

, где  и  .

Условия применения:

n – велико, а p и q – не очень малы, так что npq³20 ;

значение f(x) определяется по таблице (приложение I в учебном пособии [1]).

Пользуясь таблицей, можно применять очевидные свойства функции f(x):

1. Функция f(x) является четной, т.е. f(-x)= f(x).

2. Функция f(x) убывает на промежутке [0;+¥).

3. f(x)®0 при ®+¥ . Практически можно считать, что f(x)»0 уже приx>4 .

4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа, её следствия и условия их применимости

Теорема(интегральная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность р наступления события A в каждом испытании постоянна и отличается от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления событие А в п независимых повторных испытаниях заключено в пределах от a до b (включительно), при достаточно большом числе п приближенно равна

,

где  ;   и  .

F(х) – функция Лапласа, табулированная в приложении II .

Условия применения:

n – велико, а p и q – не очень малы, так что npq³20 .

Пользуясь таблицей, можно применять свойства функции F(х):

1. Функция F(х) является нечетной, т.е. F(-х)= -F(х).

2. Функция F(х) возрастает на R.

3. F(х)®1 при ®+¥ . Практически можно считать, что F(х)»1 уже при x>4.

Рассмотрим следствия интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Следствие. Если вероятность р наступления события A в каждом испытании постоянна и отличается от 0 и 1, то при достаточно большом числе п независимых повторных испытаний вероятность того, что:

а) число m наступлений события А отличается от среднего значения пp не более, чем на величину e>0 (по абсолютной величине), приближенно равна

;

б) частость  события А заключена в пределах от a до b(включительно), приближенно равна

, где  и  ;

в) частость  события А отличается от его вероятности p не более чем на величину D>0 (по абсолютной величине), приближенно равна

.

Условия применения формул совпадают с условиями применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа:

n – велико, а p и q – не очень малы, так что npq³20 .

32. Следствия из интегральной теоремы Муавра—Лапласа. Примеры.

Свойства функции Лапласа

1. Функция Лапласа нечетна: 

2. Функция Лапласа – монотонно возрастающая;

3. т.е. прямые  и  являются горизонтальными асимптотами (правой и левой соответственно) графика  ; на практике полагаем  при 

График функции Лапласа схематично изображен на рис. 2.

Пусть выполнены условия применимости интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Следствие 1.Вероятность того, что число  наступлений события А в n повторных независимых испытаниях будет отличаться от величины  не более чем на  (по абсолютной величине), вычисляется по формуле

Следствие 2.Вероятность того, что доля  наступлений события А в n повторных независимых испытаниях будет отличаться от вероятности p наступления этого события в одном испытании не более чем на  (по абсолютной величине), вычисляется по формуле

Пример.Подлежат исследованию 1000 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе равна 0,15. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 будет заключено число проб руды с промышленным содержанием металла.

Решение.Искомые границы для числа  проб руды с промышленным содержанием металла (из данных 1000 проб) определяются величинами  и  (см. интегральную теорему Муавра-Лапласа). Будем предполагать, что искомые границы симметричны относительно величины  , где  и  . Тогда  ,  для некоторого  , и, тем самым, единственной определяющей неизвестной данной задачи становится величина  . Из следствия 1 и условия задачи следует, что

По таблице значений функции Лапласа найдем такое  , что 

Тогда  и  . Окончательно получаем искомые границы:  т.е. с вероятностью 0,9973 число проб руды с промышленным содержанием металла (из данных 1000 проб) попадет в интервал (116; 184).

Пример.В лесхозе приживается в среднем 80% саженцев. Сколько саженцев надо посадить, чтобы с вероятностью 0,9981 можно было утверждать, что доля прижившихся саженцев будет находиться в границах от 0,75 до 0,85.

Решение.  – вероятность прижиться для каждого из саженцев,  . Пусть  – необходимое число саженцев (искомая величина данной задачи) и  – число прижившихся из них, тогда  – доля прижившихся саженцев. По условию,

Данные границы для доли  симметричны относительно величины , поэтому неравенство  равносильно неравенству 

Следовательно, вероятность 0,9981 – это та самая вероятность, которая вычисляется по следствию 2 из интегральной теоремы Муавра-Лапласа при  ,  :

По таблице функции Лапласа найдем такое значение  , что  Это значение:  Тогда

 и

Заметим, что значение  округлено до целых в большую сторону, чтобы обеспечить, как говорят, “запас по вероятности”. Кроме того, видно, что полученное значение  достаточно велико (более 100), поэтому применение интегральной теоремы Муавра-Лапласа для решения данной задачи было возможно.