2. Проверка гипотезы о принадлежности результатов наблюдений нормальному распределению

Чтобы установить принадлежат (или не принадлежат) результаты наблюдений тому или иному распределению, необходимо сравнить экспериментальную функцию распределения с предполагаемой теоретической.

В итоге измерения физического параметра сформировался массив Х_i случайной величины.

Определим в нем минимальное Х_min= 62 и максимальное Х_max= 62,15 значения.

Весь диапазон X_max ... X_min результатов наблюдений разделим на r интервалов шириной и определим частоты m_i, равные числу результатов, лежащих в каждом i-м интервале, т. е. меньше или равных его правой и больше левой границы.

Число интервалов выбирается в зависимости от числа наблюдений согласно рекомендациям таблице 4.

Таблица 4 - Зависимость числа интервалов от числа наблюдений

n	r
40 – 100	7 – 9
100 – 500	8 – 12
500 – 1000	10 – 16
1000 .. ...10000	12 – 22

Пусть r=10, тогда _.

Вычислим отношения, называемые частностями и представляющие собой статистические оценки вероятностей попадания результата наблюдений в i-й интервал:

,

где n - общее число наблюдений.

Распределение частот по интервалам образует статистическое распределение результатов наблюдений. Определим оценки средней плотности распределения в интервале , разделив частность на длину интервала :

Представим данные выборки вариационного ряда в таблице 5.

Таблица 5 - Выборка вариационного ряда.

i	Интервалы		Длинна интервала, ∆Хi	Частоты, mi	Частности, Pi	рi
	Xi, мм	Xi+1, мм
1	61	61,015	0,015	9	0,06	4,00
2	61,015	61,03		16	0,11	7,11
3	61,03	61,045		17	0,11	7,56
4	61,045	61,06		27	0,18	12,00
5	61,06	61,075		19	0,13	8,44
6	61,075	61,09		32	0,21	14,22
7	61,09	61,105		18	0,12	8,00
8	61,105	61,12		8	0,05	3,56
9	61,12	61,135		1	0,01	0,44
10	61,135	61,15		3	0,02	1,33

Построим гистограмму наблюдений в виде графика в координатах - интервалы значений (рисунок 1). При построении гистограмм рекомендуется пользоваться следующими правилами:

– длины интервалов удобнее выбирать одинаковыми. Однако если распределение крайне неравномерно, то в области максимальной концентрации результатов наблюдений следует выбирать более узкие интервалы.

– масштабы по осям гистограммы должны быть такими, чтобы отношение ее высоты к основанию составляло примерно 5:8.

Рисунок 1 - Гистограмма распределения результатов измерения.

Приняв общую площадь, ограниченную гистограммой распределения равной единице (S_o = 1), диапазон изменения - L, а интервал - L, можно определить частоту попадания результатов наблюдений в тот или иной интервал как отношение площади соответствующего прямоугольника шириной L к общей площади S_o.

После построения гистограммы нужно подобрать теоретическую кривую распределения, которая, выражая все существенные черты статистического распределения, сглаживала бы все случайности, связанные с недостаточным объемом экспериментальных данных.

В практике технических измерений большинство распределений подчиняются закону нормального распределения. В аналитической форме он выражается формулой:

, (10)

где х – случайная величина;

m_х – математическое ожидание случайной величины;

 – среднеквадратичное отклонение.

Так как гистограмма содержит несколько выделяющихся высотой столбов, гипотеза о принадлежность результатов наблюдений нормальному распределению отклоняется.

Вывод: Полученные результаты принадлежат нормальному распределению.

ЗАДАНИЕ №2