13. Дифференциальные уравнения Эйлера установившегося движения идеальной жидкости.

В потоке идеальной жидкости возьмем точку M с координатами x, y, z и выделим возле нее элемент жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда так, чтобы точка Mбыла одной из его вершин (Рис. 20). Ребра параллелепипеда параллельны координатным осям и равны dx, dy, dz. Составим уравнение движения этого элемента жидкости. Пусть на жидкость внутри него действует результирующая единичная массовая сила с составляющими X, Y и Z. Тогда массовые силы, действующие на выделенный объем будут равны этим составляющим, умноженным на массу элемента. Поверхностные силы будут равны давлениям, умноженным на площади граней параллелепипеда.

 

Рис. 20. Схема для вывода дифференциальных уравнений движения

идеальной жидкости.

 

Согласно второму закону Ньютона, уравнения движения вдоль координатных осей примут вид:

 

Приведя подобные и разделив уравнения на массу элемента rdxdydz, получим

Эта система дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости носит название уравнений Эйлера. Все члены этих уравнений имеют размерность ускорений, а смысл каждого уравнения состоит в следующем: полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается из ускорения от массовых сил и ускорения от сил давления.

Эти уравнения справедливы как для несжимаемой, так и для сжимаемой жидкости, как для стационарного, так и нестационарного течения.

Для стационарного течения умножим каждое из уравнений на соответствующие проекции элементарного перемещения, равные dx = Vxdt; dy = Vydt;   dz = Vzdt, и сложим уравнения. Получим

Выражение в скобках – это полный дифференциал давления dp, выражения в правых частях – дифференциалы от половин квадратов проекций скорости:

 

или

где U – силовая функция.

Рассмотрим частный случай этого уравнения, когда из массовых сил действует только сила тяжести:  X = Y = 0; Z = – g. Подставляя эти значения, получим:

,

или

Для идеальной жидкости плотность r = const, так как эта жидкость абсолютно несжимаемая. Поэтому предыдущее уравнение можно переписать в виде

Следовательно,             то есть мы получили уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.

14. Уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой (идеальной) жидкости (вывод в общем виде, физ.Смысл уравнения).

, где Z – геометрический напор – высота центра тяжести рассматриваемого сечения над горизонтальной плоскостью сравнения(м), – пьезометрический (статический) напор жидкости в сечении, -динамический напор потока

Физический смысл: при установившемся движении жидкости элементарной струйки сумма трех удельных энергий (энергии положения, энергии давления и кинетической энергии) остается неизменной вдоль элементарной струйки.

15. Уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой капельной жидкости и его гидравлический смысл.

, где u – средняя скорость всех элементарных струек

Гидравлический смысл: заключается в равенстве сумм всех трех напоров, составленных для любых сечений потока

16. Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой капельной жидкости.

, где - коэффициент Кориолиса – неравномерности кинетической энергии по сечении: =2 – для ламинарного, =1,05… 1,10 – для турбулентного

18.Пременение уравнения Бернулли для решения задач (правила).

Мощность потока. Гидравлический уклон.

При решении практических задач нужно руководствоваться следующим:

• Уравнение Бернулли применяется для установившегося движения жидкости;

• Уравнение Бернулли составляется для двух живых сечений потока, нормальных к направлению скорости и располагающихся на прямолинейных участках трубопровода;

• Сечения нумеруются по ходу движения жидкости.

• Одно из сечений нужно брать там, где известны: P, Z, V;

• Плоскость сравнения должна быть горизонтальной. Высота положения центра тяжести живого сечения «Z», расположенного выше плоскости сравнения, считается положительной.

• Составление уравнения Бернулли для двух живых сечений потока невозможно без рисунка (схемы) подачи жидкости.

Мощность потока:

Гидравли́ческий укло́н — это величина, характеризующая собой потерю напора на единицу длины русла.

При постоянной скорости течения и одинаковой высоте русла (то есть, при горизонтальном русле) гидравлический уклон может быть определён по формуле:

Для ламинарного течения жидкости в трубах круглого сечения гидравлический уклон может быть определён по формуле:

Для наклонных русел гидравлический уклон численно равен тангенсу угла, чуть меньшего, чем угол наклона русла.

Гидравлический уклон играет важную роль при расчёте трубопроводов, канализационных труб, каналов и др.