Метод равномерного поиска
Метод равномерного
поиска является простейшим. Оценивание
функции производится в
равноотстоящих друг от друга точках.
При этом интервал
делится на
равных интервалов длины
.
Пусть
– точка, в которой наблюдается минимум
функции
.
Тогда точка истинного минимума лежит
в интервале
откуда
.
Недостатком метода является большое число вычислений функции. На практике метод равномерного поиска применяется редко, но его эффективность может служить точкой отсчета для других методов.
Метод деления отрезка пополам
Данный метод позволяет исключить в точности половину интервала на каждой итерации. Иногда его называют трехточечным поиском на равных интервалах
Пусть функция задана на интервале . Метод можно представить в виде следующей последовательности шагов.
Шаг 1.
Положить
и
.
Вычислить
.
Шаг 2.
Положить
и
.
В результате точки
делят интервал
на четыре равные части. Вычислить
и
.
Шаг 3. Сравнить и .
Если
,
исключить интервал
,
положив
.
Средней точкой нового интервала
становится точка
.
Следовательно, необходимо положить
.
Перейти к шагу 6.
Если
,
перейти к шагу 4.
Шаг 4.
Если
,
исключить интервал
,
положив
.
Средней точкой нового интервала
становится точка
.
Следовательно, необходимо положить
.
Перейти к шагу 6.
Шаг 5.
Убрать два крайних интервала, положив
,
.
Шаг 6.
Вычислить
.
Если величина
мала, закончить поиск. Иначе, вернуться
к шагу 2.
Таким образом:
На каждой итерации исключается в точности половина интервала поиска.
Средняя точка последовательно получаемых интервалов всегда совпадает с одной из пробных точек или
,
что уменьшает число вычислений.Если проведено вычислений значений функции, то длина полученного интервала составляет
величины исходного интервала.
Пример. Требуется
минимизировать
в интервале
.
Здесь
.
Итерация 1
,
,
,
.
Таким образом,
исключаются интервалы
и
.
Длина интервала поиска уменьшается с
90 до 45.
Метод золотого сечения
Минимаксные стратегии поиска диктуют следующие принципы:
если количество пробных точек равно двум, их следует размещать на одинаковых расстояниях от середины интервала;
пробные точки должны размещаться по симметричной схеме, чтобы отношение длины исключаемого подинтервала к исходному было постоянным;
на каждой итерации процедуры поиска должно вычисляться только одно значение функции в вычисляемой точке.
Руководствуясь этими правилами, рассмотрим симметричное расположение точек, как это показано на рисунке 2.6.
Рис. 2.6. Начальное расположение пробных точек в методе золотого сечения
Пробные точки стоят
от граничных точек на расстоянии
.
При таком симметричном расположении
точек длина остающегося интервала
всегда равна
(рис.2.7)
Рис. 2.7. Расположение пробных точек после первого шага исключения
Для того, чтобы
симметрия поискового образа сохранялась,
расстояние
должно составлять
-ую
часть длины интервала (которая равна
).
Это дает ношение
.
Отсюда можно получить
квадратное уравнение
,
положительное решение которого
.
Схема поиска, при котором пробные точки
делят интервал в этом отношении, известна
как метод золотого сечения. После каждой
итерации исключается
-ая
часть от длины интервала. Следовательно,
если исходный интервал имеет единичную
длину, то длина интервала, полученного
в результате
вычислений значений функции, будет
равна
.
Известно, что поиск с помощью метода
золотого сечения является асимптотически
наиболее эффективной реализацией
минимаксной стратегии.
Рассмотрим прежний
пример. Требуется
минимизировать
в интервале
.
Перейдем к интервалу единичной длины
путем замены переменной по формуле
.
Тогда задача принимает следующий вид:
минимизировать
в интервале
.
Итерация 1.
.
Проведем два первых вычисления функции:
,
.
Так как
,
интервал
исключается.
Итерация 2.
.
Следующее вычисление функции проводится
в точке
,
Так как
,
интервал
исключается.
В результате двух
итераций остался интервал
.
В процессе расчетов
проведено 3 вычисления функции
.
Длина результирующего интервала для
переменной
равна
.
Если пересчитать на переменную
,
то длина интервала
.