Уравнение Эйлера и условия Лежандра для функционалов, зависящих от нескольких функций и от высших производных

Рассмотрим более общий случай, когда функционал зависит от нескольких функций, т. е.

(5.3)

и требуется найти функции , удовлетворяющие граничным условиям

,

и доставляющие экстремум функционалу.

Варьируя поочередно каждую функцию, входящую в (5.3), при остальных фиксированных, легко получить систему уравнений Эйлера

(5.4)

где .

Среди решений системы уравнений (5.4) и отыскиваются функции , которые удовлетворяют граничным условиям и обеспечивают экстремум функционалу. Постоянные интегрирования определяются по заданным начальным условиям.

Вид экстремума, как и в случае простейшей вариационной задачи с одной функцией, определяется необходимыми условиями Лежандра, которые здесь записываются в виде системы неравенств. Так для достижения функционалом минимума необходимо

.

В случае минимума знак неравенств меняется на обратный.

Уравнение Эйлера легко обобщается на функционалы, зависящие от высших производных:

.

Предполагается, что – непрерывная функция, дифференцируемая раза по всем аргументам, – функции, дифференцируемые раз, а в граничных условиях задаются значения самой функции и ее производных до включительно.

С помощью тех же рассуждений, что и ранее, условие равенства нулю первой вариации функционала можно связать с уравнением

,

известным под названием уравнение Эйлера–Пуассона.

Вариационные задачи на условный экстремум

В задачах вариационного исчисления часто встречаются случаи, когда на функции, среди которых отыскивается функция доставляющая экстремум функционалу, накладываются некоторые дополнительные условия (уравнения связи). За счет этих дополнительных условий множество допустимых функций сужается. Например, в задаче о нахождении кривой, соединяющей две точки на некоторой поверхности и имеющей наименьшую длину, к допустимым кривым относятся только те, которые лежат на этой поверхности.

В вариационном исчислении задачи с дополнительными условиями на функции , которые доставляют экстремум функционалу

, (5.5)

называются задачами на условный экстремум. Эти дополнительные условия могут выражаться алгебраическими уравнениями

; (5.6)

интегральными уравнениями

(5.7)

или дифференциальными уравнениями

(5.8)

Вариационную задачу с алгебраическими уравнениями связи (5.6) называют задачей о геодезических кривых, с интегральными уравнениями связи (5.7) – изопериметрической задачей и с дифференциальными уравнениями связи (5.8) – общей задачей Лагранжа. К общей задаче Лагранжа могут быть приведены все другие задачи на условный экстремум.

Для решения вариационных задач на условный экстремум используется метод неопределенных множителей Лагранжа. Согласно этому методу вместо функции в функционале (5.5) вводится функция

, (5.9)

где – неопределенные функции (множители Лагранжа). В дальнейшем решается задача на безусловный экстремум функционала

.

Здесь слагаемые, стоящие под знаком суммы, имеют смысл штрафа, накладываемого за нарушение условий (5.6-5.8). Легко видеть, что только в том случае, если функции удовлетворяют системе уравнений (5.6-5.8).

Для определения функций , обеспечивающих экстремум функционала, и множителей Лагранжа имеем систему уравнений, состоящую из уравнений Эйлера для функционала

(5.10) и уравнений связи (например, дифференциальных)

. (5.11)

Эта система уравнений представляет собой необходимое условие, которому должны удовлетворять функции, доставляющие экстремум функционалу в общей задаче Лагранжа.

Уравнения связи (5.11), входящие в эту систему, можно рассматривать как уравнения Эйлера для функционала относительно введенных неопределенных множителей . Тогда необходимое условие экстремума в общей задаче Лагранжа можно записать в следующем виде

(5.12)

Эти уравнения часто называют уравнениями Эйлера–Лагранжа. Они образуют замкнутую систему уравнений с таким же числом неизвестных: и . Решение общей задачи Лагранжа, таким образом, сводится к решению системы уравнений (5.12). Постоянные интегрирования в общем решении этих уравнений Эйлера–Лагранжа определяются из начальных условий , которые не должны противоречить уравнениям связей.