Ограничения на допустимое множество
Наиболее типичный
способ определения допустимого множества
- введение ограничений на переменные
типа
,
,
,
,
,
,
а также требования неотрицательности всех или некоторых переменных. Если ограничений несколько, то допустимое множество решений задачи оптимизации является пересечением всех множеств, определяемых ограничениями.
Рассмотрим пример.
Пусть для двумерной переменной
заданы два ограничения:
Первое ограничение
определяет круг радиуса
с центром в начале координат, второе –
область, отделенную от начала координат
двумя ветвями гиперболы. Допустимое
множество определяется заштрихованными
областями в первом и третьем квадрантов
(рис.1.1). Если наложить дополнительное
требование неотрицательности переменных
,
то остается только область в первом
квадранте.
При некоторых видах ограничений допустимое множество может оказаться пустым. Так если в рассмотренном примере уменьшить , то две области могут и не пересечься.
Большинство известных методов оптимизации применимы только если допустимое множество выпукло.
Задача оптимизации
не всегда имеет решение. Например, задача
найти максимум функции
при
не имеет решения, поскольку область
не ограничена и для любого
можно найти другие
дающие большие значения суммы. Однако
можно выделить широкий круг задач, для
которых существование оптимума
гарантируется следующей теоремой.
Рис. 1.1 Графическое изображение допустимого множества
Теорема Вейерштрасса. Непрерывная функция, определенная на непустом замкнутом неограниченном множестве, достигает минимума (максимума), по крайней мере, в одной из точек этого множества.
В данной теореме ключевым является требование замкнутости, поэтому оно является важным условием большинства задач оптимизации.
Для обеспечения
замкнутости все ограничения на допустимое
множество типа неравенств задаются как
нестрогие:
или
.
При этом знаки <,> определяют внутренние,
а знаки = – граничные дочки допустимого
множества.
Структура оптимизационных задач математического программирования
Хотя прикладные
оптимизационные задачи математического
программирования могут относиться к
совершенно разным областям инженерной
практики, они имеют общую форму. Все
задачи можно классифицировать как
задачи минимизации вещественной функции
-мерного
векторного аргумента
,
компоненты которого удовлетворяют
системе уравнений
,
набору неравенств
,
а также ограничены сверху и снизу
.
В последующем изложении функцию
будем называть целевой
функцией,
уравнения
– ограничениями
вида равенств,
а неравенства
– ограничениями
вида неравенств.
Иногда условия вида
называют ограничениями, а условия вида
– связями.
При этом предполагается, что все функции являются вещественнозначными, а число ограничений конечно.
Система ограничений оптимизационной задачи задает допустимую область переменных , т.е. ту область, в которой может находиться решение задачи.
Задача общего вида: минимизировать при ограничениях
, ,
, ,
, ,
называется задачей оптимизации с ограничениями или задачей условной оптимизации.
Задача, в которой нет ограничений, называется задачей без ограничений или задачей безусловной оптимизации.
Следует отметить, что с практической точки зрения задача безусловной оптимизации бессмысленна, так как приводит к нереализуемым результатам. Однако как математическая идеализация она вполне может иметь место. Тем более, что к этой задаче часто искусственно сводятся реальные задачи условной оптимизации.