4. Условная оптимизация. Линейное программирование

Классическая задача минимизации состоит в нахождении минимума целевой функции , где - точка в пространстве при наличии ограничений типа равенств

. (4.1)

Если ограничения имеют место, то минимум функции называется условным минимумом. Если ограничения отсутствуют, то говорят о безусловном минимуме, нахождение которого сводится к определению и исследованию стационарных точек функции .

Основная проблема условной минимизации в том, что здесь уже нельзя пользоваться аппаратом стационарных точек, приравнивая к нулю производные по переменным, т.к. минимум, в общем случае, достигается в других точках. Очевидный путь решения задачи состоит в том, чтобы каким либо образом попытаться свести задачу условной минимизации к задаче безусловной минимизации.

Классический способ решения данной задачи состоит в том, что уравнения (4.1) используются для исключения из рассмотрения переменных. При этом целевая функция сводится к виду

,

где через обозначены не исключенные переменные. Теперь задача состоит в нахождении значений , которые обращают в минимум функцию и на которые не наложено никаких ограничений, т.е. сводится к задаче на безусловный экстремум.

Пример. Пусть и требуется найти минимум целевой функции

при ограничении .

На рис. 4.1. изображены ограничения и линии уровня . Целевая функция описывает окружность с центром в точке (1,0). Ограничение – параболу, симметричную относительно оси .

Оптимальное решение получается в точке касания кривых и .

Рис. 4.1. Графическое решение задачи условной оптимизации

Для получения аналитического решения из уравнения находим . Подставив полученное выражение в , получим

.

Дифференцируя это выражение по , приходим к уравнению , которое имеет единственный вещественный корень . При этом .

Легко определить, что при отсутствии ограничения минимум достигается в точке и равен нулю. Таким образом, ограничение приводит к увеличению значения целевой функции, т.е. к ухудшению качества оптимума.

Если ограничения имеют сложный вид, то исключить с их помощью переменных из функции представляет серьезную проблему. Для аналитического решения такой задачи может использоваться метод сведения задачи на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум, основанный на использовании множителей Лагранжа.

Метод множителей Лагранжа. Введем в рассмотрение вектор и исследуем свойства функции

Функцию называют функцией Лагранжа а величины - множителями Лагранжа. Как видно, эта функция зависит от переменных . Рассмотрим стационарные точки функции , которые получим, приравняв нулю частные производные по и :

(4.2)

(4.3)

Видно, что уравнения (4.2) совпадают с ограничениями (4.1) и при их выполнении имеет место . Поэтому, если в стационарной точке функция достигает минимума, то обеспечивает минимум функции , т.е. дает решение задачи. Таким образом, задача на условный экстремум функции при наличии ограничений типа равенств, сводится к задаче определения стационарных точек функции Лагранжа, т.е. к задаче на безусловный экстремум.

Рассмотрим применение технологии множителей Лагранжа к предыдущей задаче. Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид

.

Дифференцируя данную функцию по , получим три уравнения

Выразим из первого уравнения и подставим во второе. Имеем . Подставив полученный результат в третье уравнение, получим или , что совпадает с уравнением для экстремума по переменной , полученным ранее методом подстановки. Соответственно и значения будут теми же самыми.