Пример расчета домашнего задания

1.1. Преобразование пассивного треугольника в эквивалентную звезду

Рассмотрим схему на рис. 1.1.

Рис. 1.1 Схема цепи постоянного тока с двумя источниками напряжения.

В данной схеме (рис. 1.1) пассивным является треугольник, содержащий сопротивления R₄, R₅, R₆.

Упрощаем схему путем преобразования пассивного треугольника в эквивалентную звезду (рис. 1.2), используя формулы (1.1).

а)

2

R₄₆

R_{56 01} R₄₅

3 1

б)

Рис. 1.2. Преобразование пассивного треугольника (а) в эквивалентную звезду (б).

R₄₅=R₄R₅/(R₄+R₅+R₆);

R₄₆= R₄R₆/( R₄+R₅+R₆ ); (1.1)

R₅₆=R₅R₆/( R₄+R₅+R₆ ).

В результате преобразования получим схему с двумя узлами, показанную на рис.1.3.

б)

а)

Рис. 1.3. Схема, полученная после преобразования пассивного треугольника в эквивалентную звезду.

Сопротивления, указанные на схемах рис. 1.3 (а) и (б) рассчитываются следующим образом:

R_I = R₁+R₄₅,

R_II = R₂+R₄₆, (1.2)

R_III = R₃+R₅₆.

2.1. Расчет методом наложения

В основе метода наложения лежит принцип суперпозиции, по которому ток в k-ой ветви равен алгебраической сумме частичных токов, вызываемых каждой взятой в отдельности ЭДС.

Для расчета используем упрощенную схему с двумя узлами (рис. 1.4, а).

а) б) в)

Рис. 1.4. Упрощенная схема с двумя узлами.

Расчет проводим в следующей последовательности:

а) исключаем из исходной схемы (рис.1.4, а) ЭДС Е₂ (рис. 1.4, б). Задаем направление частичных токов I₁^, I₂^, I₃^;

б) методом свертывания схемы определяем токи, создаваемые в ней ЭДС E₁ (I₁^; I₂^; I₃^). Находим эквивалентное сопротивление схемы (1.3):

R_экв = R_I +R_IIR_III / (R_II + R_III) (1.3)

По закону Ома частичные токи равны:

I₁^ = E₁ / R_экв,

I₂^ = I₁R_III / (R_II + R_III),

I₃^ = I₁R_II / (R_II + R_III). (1.4)

в) делаем проверку по первому закону Кирхгофа;

г) исключаем ЭДС Е₁ (рис. 1.4, в). Задаем направления частичных токов I₁^, I₂^, I₃^;

д) аналогично п. б) определяем токи I₁^; I₂^; I₃^. Делаем проверку по первому закону Кирхгофа;

е) определяем токи в упрощенной схеме (рис. 1.4, а) как алгебраическую сумму токов, найденных в п. б) и д). Знак (+) ставим перед частичным током, если его направление совпадает с направлением этого тока в исходной схеме, в противном случае ставим знак (–);

ж) делаем проверку по первому закону Кирхгофа.

2.2. Метод двух узлов

(частный случай метода узловых потенциалов)

Расчет проводим в следующей последовательности:

а) задаем направление токов и напряжений в ветвях преобразованной схемы. Для схемы рис. 1.5 определяем проводимость ветвей по (1.5):

g₁ = 1 / R_I ,

g₂ = 1 / R_II , (1.5)

g₃ = 1 / R_III;

б) определяем узловое напряжение, используя метод двух узлов.

Напряжение между узлами 0 и 0 для схемы рис. 1.5 определяется как,

U_00 = ; U_00 = , (1.6)

где знак () зависит от взаимного направления E₁ и E₂: если ЭДС направлена к узлу 0, то она берется со знаком (+), если от узла 0, то со знаком ().

в) определяем токи в ветвях упрощенной схемы по закону Ома для активного участка цепи:

I₁ = (E₁  U_00 ) / R_I,

I₂ = (E₂ + U_00 ) / R_II, (1.7)

I₃ = U_00 / R_III.

г) делаем проверку по первому закону Кирхгофа;

д) находим остальные токи в исходной схеме без преобразований с помощью уравнений второго и первого законов Кирхгофа. Если полученные значения токов или напряжений окажутся отрицательными это означает, что их действительное направление противоположно выбранному;

е) делаем проверку расчетов по первому закону Кирхгофа для любых двух узлов, используя исходную схему и расчетные значения токов.