Операция “исключающее или”

Операция “исключающее ИЛИ” отличается от обычного “ИЛИ” только тем, что результат равен 0, если оба значения равны 1 (последняя строчка в таблице истинности). То есть ее результат — истина в том и только в том случае, когда два значения не равны. “Исключающее ИЛИ” в алгебре логики обозначается знаком “⊕”, в языке Паскаль как xor (например, “A xor B”), а в языке Си — знаком “^” (“A ^ B”). Эту операцию можно представить через базовые операции (“НЕ”, “И”, “ИЛИ”) следующим образом: .

А	B	A⊕B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Импликация

Мы часто используем логическую связку “если …, то”, например: “Если пойдет дождь, то я надену плащ” или “Если все стороны прямоугольника равны, то это квадрат”. В логике эта связка называется импликацией (следованием) и обозначается стрелкой: A→B (“если A, то B”, “из A следует B”).

Импликацию можно заменить на выражение, использующее только базовые операции (здесь — только “НЕ” и “ИЛИ”):

А	B	A→B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Эквивалентность

Эквивалентность (также эквиваленция, равносильность) — это логическая операция, которая соответствует связке “тогда и только тогда”. Высказывание A↔B истинно в том и только в том случае, когда A = B (см. таблицу истинности).

Возможно, вы заметили, что эквивалентность — это обратная операция для “исключающего ИЛИ” (проверьте по таблицам истинности), то есть

Здесь черта сверху, охватывающая все выражение в правой части равенства, означает отрицание (инверсию), которое применяется к результату вычисления выражения A⊕B , а не к отдельным высказываниям.

Можно заменить эквивалентность выражением, которое включает только базовые логические операции:

А	B	A↔B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Другие логические операции

Мы уже говорили, что существуют и другие логические операции. Таблицы истинности операций с двумя переменными содержат 4 строки и отличаются только значением последнего столбца. Поэтому любая новая комбинация нулей и единиц в этом столбце дает новую логическую операцию (логическую функцию). Всего их, очевидно, столько, сколько существует четырехразрядных двоичных чисел, то есть 16 = 2⁴. Из тех, что мы еще не рассматривали, наиболее интересны две — штрих Шеффера (“И–НЕ”, англ. nand = “not and”)

и стрелка Пирса (“ИЛИ–НЕ”, англ. nor = “not or”).

Штрих Шеффера

А	B	A|B
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Стрелка Пирса

А	B	AB
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0