Лабораторная работа № 1 «Позиционные системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная. Перевод чисел из одной системы счисления в другую, сложение, вычитание, умножение»

Система счисления – совокупность приёмов и правил наименования и обозначения чисел, позволяющих установить взаимно однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде конечного числа символов.

Все системы счисления можно разделить на позиционные и непозиционные.

Непозиционная система счисления – система, в которой символы, обозначающие то или иное количество, не меняют своего значения в зависимости от позиции в изображении числа.

К непозиционным системам счисления относятся римская, самая простая система с одним символом (для изображения какого-либо числа в этой системе надо записать количество палочек, равное данному числу).

Систему счисления, в которой значение цифры определяется её местоположением в изображении числа, называют позиционной.

Основание позиционной системы счисления – количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

Алфавит десятичной системы счисления – {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, а основание p=10.

Например, в изображении числа 222.22 цифра 2 повторяется 5 раз, при этом первая слева цифра 2 означает количество сотен (её вес равен 10²); вторая – количество десятков (её вес равен 10); третья – количество единиц (её вес равен 10⁰); четвёртая – количество десятых долей единиц (её вес равен 10^-1); пятая – количество сотых долей единиц (её вес равен 10^-2).

Таким образом, любое число А можно представить в виде полинома путём разложения его по степеням числа 10 и числа p:

где - цифры системы счисления;

n и m – число целых и дробных разрядов;

, - запись числа А в 10-ой и p-ричной системе счисления.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Для перевода целого числа из p-ричной системы счисления в систему счисления с основанием d необходимо разделить с остатком («нацело») на число d, записанное в той же p-ричной системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на d и т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображённых d – ричной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения.

Примеры изображения чисел в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления представлены в табл. 1.

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Упражнение 1. Перевести десятичное число 110₁₀ в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления.

110	2						110	8					110	16
110	55	2					104	13	8				96	6
0	54	27	2				6	8	1				14
	1	26	13	2				5
		1	12	6	2
			1	6	3	2
				0	2	1
					1

Таким образом, A₂=110111, A₈=165, A₁₆=6E.

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему осуществляется путём замены каждой цифры эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четвёркой цифр).

Упражнение 2. Перевести числа 537,1₈ и 1А3,F₁₆ в двоичную систему счисления.

5	3	7,	18	=	1	0	1		0	1	1		1	1	1,	0	0	12
																	
						5				3				7			1

1	A	3,	F16	=	1		1	0	1	0		0	0	1	1,	1	1	1	12
																		
					1				A					3				F

Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую группу заменить соответствующей восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой.

Упражнение 3. Перевести двоичное число 10101001,10111₂ в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

1	0	1	0	1	0	0	1,	1	0	1	12	=	1	0		1	0	1		0	0	1,	1	0	1		1	0	0
																												
														2			5				1			5				4

1	0	1	0	1	0	0	1,	1	0	1	12	=	1	0	1	0		1	0	0	1,	1	0	1	1
																								
															A					9				B

Сложение

Таблицы сложения для двоичной, восьмеричной систем счисления представлены в табл. 1 и табл. 2.

Таблица 1

Сложение в двоичной системе

+	0	1
0	0	1
1	1	10

Таблица 2

Сложение в восьмеричной системе

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

Упражнение 4. Сложить числа 15₁₀ и 6₁₀ в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Двоичная: 1111₂+110₂. Восьмеричная: 17₈+6₈. Шестнадцатеричная: F₁₆+6₁₆.

1	1	1									1											1
+	1	1	1	1						+	1	7										+	F
		1	1	0								6											6
1	0	1	0	1							2	5										1	5

Ответ: 15+6=21₁₀=10101₂=25₈=15₁₆.

Проверка: преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

10101₂=1∙2⁴+1∙2²+1∙2⁰=16+4+1=21₁₀,

25₈=2∙8¹+5∙8⁰=16+5=21₁₀,

15₁₆=1∙16¹+5∙16⁰=16+5=21₁₀.

Упражнение 5. Сложить 141,5₁₀ и 59,75₁₀ в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Двоичная: 10001101,1₂+111011,11₂. Восьмеричная: 215,4₈+73,6₈.

Шестнадцатеричная 8D,8₁₆+3B,C₁₆.

		1	1	1	1	1	1	1							1	1	1						1	1
+	1	0	0	0	1	1	0	1,	1					+	2	1	5,	4				+	8	D,	8
			1	1	1	0	1	1,	1	1						7	3,	6					3	B,	C
	1	1	0	0	1	0	0	1,	0	1					3	1	1,	2					C	9,	4

Ответ: 141,5+59,75=201,25₁₀=11001001,01₂=311,2₈=C9,4₁₆.

Проверка: преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

11001001,01₂=1∙2⁷+1∙2⁶+1∙2³+1∙2⁰+1∙2^-2=128+64+8+1+0,25=201,25₁₀,

311,2₈=3∙8²+1∙8¹+1∙8⁰+2∙8^-1=192+8+1+0,25=201,25₁₀,

С9,4₁₆=12∙16¹+9∙16⁰+4∙16^-1=192+9+0,25=201,25₁₀.

Вычитание

Упражнение 6. Вычесть число 59,75 из числа 201,25.

Двоичная: 11001001,01₂-111011,11₂. Восьмеричная: 311,2₈-73,6₈. Шестнадцатеричная: С9,4₁₆+3В,С₁₆.

		1			1			1							1	1	1						1	1
+	1	1	0	0	1	0	0	1,	0	1				-	3	1	1,	2				-	С	9,	4
			1	1	1	0	1	1,	1	1						7	3,	6					3	B,	C
	1	0	0	0	1	1	0	1,	1	0					2	1	5,	4					8	D,	8

Ответ: 201,25-59,75=141,5₁₀=10001101,01₂=215,4₈=8D,8₁₆.

Проверка: преобразуем полученные разности к десятичному виду:

10001101,01₂=1∙2⁷+1∙2³+1∙2²+1∙2⁰+1∙2^-1=141,5₁₀,

215,4₈=2∙8²+1∙8¹+5∙8⁰+4∙8^-1=141,5₁₀,

8D,8₁₆=8∙16¹+13∙16⁰+8∙16^-1=141,5₁₀.

Умножение

Таблицы умножения для двоичной, восьмеричной систем счисления представлены в табл. 3 и табл. 4.

Таблица 3

Умножение в двоичной системе

x	0	1
0	0	0
1	0	1

Таблица 4

Умножение в восьмеричной системе

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7
2	0	2	4	6	10	12	14	16
3	0	3	6	11	14	17	22	25
4	0	4	10	14	20	24	30	34
5	0	5	12	17	24	31	36	43
6	0	6	14	22	30	36	44	52
7	0	7	16	25	34	43	52	61

Упражнение 7. Перемножить десятичные числа 115₁₀ и 51₁₀ в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Двоичная: 1110011₂∙110011₂. Восьмеричная: 163₈∙63,6₈.

Шестнадцатеричная: 73₁₆∙33₁₆.

	x					1	1	1	0	0	1	1
							1	1	0	0	1	1			x	1	6	3				x		7	3
						1	1	1	0	0	1	1					6	3						3	3
					1	1	1	0	0	1	1					5	3	1					1	5	9
		1	1	1	0	0	1	1						1	2	6	2					1	5	9
	1	1	1	0	0	1	1							1	3	3	5	1				1	6	E	9
1	0	1	1	0	1	1	1	0	1	0	0	1

Ответ: 115∙51=5865₁₀=1011011101001₂=13351₈=16E9₁₆.

Проверка: преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

1011011101001₂=1∙2¹²+1∙2¹⁰+1∙2⁹+1∙2⁷+1∙2⁶+1∙2⁵+1∙2³+1∙2⁰=5865₁₀,

13351₈=1∙8⁴+3∙8³+3∙8²+5∙8¹+1∙8⁰=5865₁₀,

16E9₁₆=1∙16³+6∙16²+E∙16¹+9∙16⁰=5865₁₀.