Тема 8. Функции нескольких переменных – фнп Уметь:

Находить частные производные функций нескольких переменных различных типов, сложные, неявные, находить полный и частные дифференциалы функции нескольких переменных, частные производные высших порядков, дифференциал 2-го порядка, проводить исследование на экстремум функции двух переменных, составлять уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, находить вектор нормали касательной плоскости.

ФНП - 1. Дайте понятие функции двух независимых переменных, способы задания, область определения такой функции. Что является графиком функции двух переменных?

Способы задания функции:

1. Аналитический способ состоит в том, что функция z представлена с помощью формулы.

1. Явный

2. Неявный

2. Табличный способ. В первой строке таблицы выписываются возможные значения переменной х: х₁, х₂, …, х_n, в первом столбце – значения переменной у: у₁, у₂, …, у_n, на пересечении строки и столбца указывается соответствующее значение функции

3. Графический способ. Примем z за аппликату некоторой точки

P(х, у, z) в пространстве. Всей области D(z) соответствует множество точек Р, образующее в пространстве некоторую поверхность. Графиком функции z = f(х, у) в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве является поверхность, каждая точка которой - Р(х, у, f(х, у)).

ФНП - 2. Дайте определение непрерывности функции двух независимых переменных в точке и в области. Какие бывают виды окрестностей точки на плоскости. Приведите примеры разрывных функций.

Функция называется непрерывной в точке M₀(x₀y₀), если

Если функция f ( x ,y ) непрерывна в точке M₀(x₀y₀), то

Поскольку

То есть, если функция f ( x ,y ) непрерывна в точке M₀(x₀y₀), то бесконечно малым приращениям аргументов в этой области соответствует бесконечно малое приращение Δz функции z.

Существуют и т.д. окрестности точки на плоскости. Окрестности могут быть б.б и б.м

Пример разрывной функции:

ФНП - 3. Сформулируйте определение частных производных функции двух независимых переменных по каждой из них. В чем состоит геометрический смысл частных производных функции. Уметь нарисовать.

Геометрический смысл частной производной:

Значение частной производной есть tgα – касательной, проведённой к линии пересечения исходной поверхности с плоскостью, перпендикулярной оси аргумента по которому и находилась частная производная. Плоскость проходит через одну из координат исходной точки

ФНП - 4. Сформулируйте определение частного приращения и частного дифференциала функции. Определение полного приращения и полного дифференциала.

Частные приращения находиться при условии, что приращение получает только одна переменная, остальные остаются неизменными.

Частный дифференциал – это дифференциал функции по одной из переменных при условии, что все остальные переменные фиксированы.

Полное приращение находиться при условии, что приращение получает все независимые переменные.

Полный дифференциал – главная, линейная относительно приращения аргументов, часть полного приращения функции, называется полным дифференциалом функции

ФНП - 5. Как находятся частные производные высшего порядка? Сформулируйте условия равенства смешанных производных. Дифференциалы высших порядков и формулы их нахождения

ФНП - 6. Дайте понятие сложной функции нескольких переменных. Запишите формулы дифференцирования сложной функции (3 случая). Запишите формулы дифференцирования неявно заданной функции (2 случая).

ФНП - 7. Что такое касательная плоскость и нормаль к поверхности? Запишите уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением в S: F (x; y; z) =0 и S: z=f (x; y). Сформулируйте определение экстремума функции двух переменных.

ФНП - 8. Экстремум функции двух независимых переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции двух переменных (теорема о достаточных условиях).