!!!!!!Уметь определить существует ли производная какого-либо порядка в заданной точке. (Уметь вычислять значения производной в точке)

Производная не существует если там какая-то херня типа бесконечности. Если тебе нужна производная в точке, то подставляй её значения в производную.

Пфоп - 3. Правила дифференцирования суммы, произведения, частного двух функций.

Пфоп - 4. Правила дифференцирования сложной и обратной функций, параметрически заданной функции.

Правила производной сложной функции:

Первоначально берётся производная от «внешней» функции (логарифмической, степенной, тригонометрической и т.д.) После этого берётся производная от аргумента

Например:

Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.

Теорема. Пусть функция     является обратной для функции   . Если существует отличная от нуля производная функции     по переменной  x, то существует и производная обратной функции     по переменной  y. При этом

Доказательство. По определению производной

Согласно теореме о непрерывности дифференцируемых функциях,     является непрерывной функцией и, следовательно,   при  ∆x → 0. Тогда

Давайте проверим справедливость этих формул.

Найдем обратную функцию для натурального логарифма   (здесь y – функция, а x - аргумент). Разрешив это уравнение относительно x, получим   (здесь x – функция, а y – ее аргумент). То есть,   и   взаимно обратные функции.

Из таблицы производных видим, что   и  .

Убедимся, что формулы нахождения производных обратной функции приводят нас к этим же результатам:

Как видите, получили такие же результаты, как и в таблице производных.

Теперь мы обладаем знаниями для доказательства формул производных обратных тригонометрических функций.

Для   обратной функцией является  . Тогда по формуле производной обратной функции получаем

Осталось провести преобразования.

Так как областью значений арксинуса является интервал  , то   (смотрите раздел основные элементарные функции, их свойства и графики). Поэтому  , а   не рассматриваем.

Следовательно,  . Областью определения производной арксинуса является промежуток (-1; 1)

Отдельного упоминания стоит производные параметрических функций высших порядков. Для таких случаев будет справедлива формула:

Пфоп - 5. Прием логарифмического дифференцирования. Когда он применяется? Производная показательно-степенной функции (вывод формулы)

В случае если, пользуясь известными правилами дифференцирования произведения и частного мы получим слишком громоздкое выражение. Мы можем упростить выражение используя логарифмическое дифференцирование. Оно заключаются в логарифмировании левой и правой части уравнения и используя правила преобразования логарифмов можно будет взять менее громоздкую производную. Общая формула:

Наша задача — найти производную этой функции.

Схема нахождения производной показательно-степенной функции:

1. Логарифмируем обе части равенства по основанию e:

  

Поскольку степень можно вынести за знак логарифма, имеем:

  

2. Дифференцируем обе части равенства. При этом помним, что y зависит x, и u зависит от x, то есть lny и lnu — сложные функции. А значит,  их производные  равны произведению производных внешней функции — логарифма (f=lnu) и  внутренней функции (u=y или u=u). В правой части стоит произведение двух функций, то есть надо применить правило дифференцирования произведения:

  

  

  

3. Обе части равенства умножаем на y:

  

4. Теперь вспоминаем, что

  

и подставляем в формулу вместо y это выражение:

  

 ПФОП - 6. Дифференциал функции как часть приращения функции. Определение дифференциала, его геометрический, механический, математический и физический смысл. Геометрический смысл дифференциала функции в точке уметь показать на любом графике.

ПФОП - 7. Формула вычисления дифференциала 1-го порядка.

ПФОП - 8. Производные и дифференциалы высших порядков. Производная 2-го порядка параметрически заданной функции. Обозначение производной как отношение дифференциалов.

Учитывая, что:

Дифференциал второго порядка:

ПФОП - 9. Теоремы о дифференцируемых функциях: сформулировать теоремы о связи непрерывности и дифференцируемости функции в точке, Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Следствие из теоремы Ролля. Геометрический смысл теорем Ферма, Ролля, Лагранжа. Формула конечных приращений.

Теорема Ферма. (О равенстве нулю производной)

Пусть функция   удовлетворяет следующим условиям:

1. она дифференцируема на интервале  ;

2. достигает наибольшего или наименьшего значения в точке  .

Тогда производная в этой точке равна нулю, то есть  .

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ферма)

В точке наибольшего и наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Теорема Ролля

Теорема

Теорема Ролля. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения)

Пусть функция 

1. непрерывна на отрезке  ;

2. дифференцируема на интервале  ;

3. на концах отрезка   принимает равные значения  .

Тогда на интервале   найдется, по крайней мере, одна точка   , в которой  .

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ролля)

Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.

Следствие.

Если  , то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной.

Теорема Лагранжа

Теорема

Теорема Лагранжа. (О конечных приращениях)

Пусть функция 

1. непрерывна на отрезке  ;

2. дифференцируема на интервале  .

Тогда на интервале   найдется по крайней мере одна точка   , такая, что

Замечание

Теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа, когда  .

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Лагранжа)

На кривой   между точками   и   найдется точка  , такая, что через эту точку можно провести касательную, параллельную хорде   (рис. 1).

Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Она может быть переписана в виде:

Теорема Коши

Теорема

Теорема Коши. (Об отношении конечных приращений двух функций)

Если функции   и  :

1. непрерывны на отрезке  ;

2. дифференцируемы на интервале  ;

3. производная   на интервале  ,

тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка   , такая, что

Геометрический смысл тот же что и в теореме Лагранжа

ПФОП - 10. Правило Лопиталя. К каким видам неопределенностей оно применяется? Перечислить 7 видов неопределенностей.

7 видов неопределённости

ПФОП - 11. Определение и уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке (для обычной функции и параметрически заданной).

Для параметрически заданной функции необходимо:

1. Вычислить значения точки касательной

2. Угловой коэффициент находится как производная параметрически заданной функции

Тема 7. Приложение производных – ПП

Необходимо знать:

1. Схему исследования функции на экстремум и нахождение промежутков возрастания и убывания.

2. Схему исследования на выпуклость и вогнутость и определение точек перегиба. 3. Схему нахождения вертикальных и наклонных асимптот графика функции. Все частные случаи наклонных асимптот.

4. Схему полного исследования функции. Уметь использовать полученные в ходе исследования результаты к построению графика функции.

5. Находить наибольшее и наименьшее значения функции на интервале.

6. Уметь использовать производные для составления уравнений касательных и нормалей к кривым

ПП - 1. Сформулируйте определения возрастающей и убывающей на интервале функции.

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых   и   выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых   и   выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ПП - 2. Сформулируйте необходимое и достаточное условия возрастания и убывания функции в интервале. Поясните их графически.

Для того, чтобы дифференцируемая в интервале (a; b) функция y=f(x) была в этом интервале монотонной, необходимо и достаточно, чтобы в этом интервале её первая производная сохраняла свой знак, а именно

- функция возрастает

- функция убывает

На участках возрастания касательная к графику функции образует острый угол с положительным направлением оси OX и угловой коэффициент касательной положительный, а значит производная на этом участке положительна, так как:

ПП - 3. Что такое экстремум функции? Какие существуют виды экстремумов?

Виды экстремумов:

Гладкий:

Пиковый

Изогнутый - не существует

ПП - 4. Сформулируйте необходимые условия существования экстремума функции в точке. Критические точки. (Уметь нарисовать 3 вида максимумов и минимумов, пояснить, в чем отличие). Приведите графические примеры отсутствия экстремума в критической точке.

Виды экстремумов:

Гладкий:

Пиковый

Изогнутый - не существует

В данном случае хоть точки -1 и 1 являются критическими, они не являются экстремумами:

ПП - 5. Сформулируйте 1-е и 2-е достаточные условия существования экстремума.

2- условие справедливо (как и 1-ое), если исследуемая функция непрерывна в окрестностях точки

ПП - 6. Изложите подробную схему исследования функции на экстремум.

ПП - 7. Изложите схему нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в интервале

ПП - 8. Дайте определения выпуклости и вогнутости кривой в интервале, точек перегиба. Проиллюстрируйте геометрически.

ПП - 9. Сформулируйте достаточные условия выпуклости и вогнутости кривой в интервале.

ПП - 10. Сформулируйте необходимое и достаточное условия существования точек перегиба. Изложите схему отыскания точек перегиба.

ПП - 11. Что называется, асимптотой кривой? Укажите виды асимптот.

ПП - 12. Изложите схему отыскания вертикальных асимптот.

Схема нахождения вертикальных асимптот функции y = f(x):

1. Найти область определения функции

2. Если точка x₀ является точкой бесконечного разрыва функции или граничной точкой области определения, то находим односторонние пределы этой функции при x -> x₀ – 0 и x -> x₀ + 0.

3. Если хотя бы один из этих пределов равен бесконечности, то прямая x = x₀ является вертикальной асимптотой данной функции.

4. Радуйтесь и веселитесь, вы бог, вы нашли вертикальную асимптоту

ПП - 13. Запишите уравнение наклонной асимптоты и формулы нахождения параметров этого уравнения. Какие возможны частные случаи? В каких случаях можно говорить об отсутствии у кривой наклонной асимптоты?