Тема 5. Предел и непрерывность функции – пинф Уметь:

Вычислять пределы функций и числовых последовательностей, используя различные приемы, в том числе, замечательные пределы, проводить сравнение бесконечно малых величин и замену их на эквивалентные, определять порядок малости бесконечно малых величин, исследовать функцию на непрерывность, определять точки разрыва функции и их характер, строить схематичный график.

Пинф - 1. Определения бесконечно малой и бесконечно большой величин при X  x0 и X  . Графическая иллюстрация. Свойства б.М. И б.Б. Величин. Теорема о связи б.М.В. И б.Б.В

• Не привлекая понятия предела б.м.в можно описать следующими способами:

1. Функция называется б.м.в при , если для каждого положительного сколь угодно малого числа найдётся соответсвующие положительное число такое, что для всех x, удовлетворяющих неравентсву будет выполняться неравенство

Если простыми словами, то бесконечно малая величина это такая переменная велечина, которая в процессе своего измененияможет стать и оставться меньше любого сколь угодно малого положительного числа.

Графическая иллюстрация:

2. Функция называется б.м.в при , если для каждого положительного сколь угодно малого числа найдётся соответсвующие сколь угодно большое положительное число такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству будет выполняться неравенство

Свойства:

• Бесконечно большие величины:

1. Функция называется б.б.в при , если для каждого положительного сколь угодно большого числа найдётся соответсвующие сколь угодно малое положительное число такое, что для всех x, удовлетворяющих неравентсву будет выполняться неравенство

2. Функция называется б.б.в при , если для каждого положительного сколь угодно большого числа найдётся соответсвующие сколь угодно большое положительное число такое, что для всех x, удовлетворяющих неравентсву будет выполняться неравенство

Пинф - 2. Определения предела функции в точке и на бесконечности. Геометрический смысл. Определение предела числовой последовательности.

1) x  x₀

Геометрический смысл:

2)x  .

Пинф - 3. Теоремы о пределах (особое внимание обратить на теорему единственности предела, основную теорему о пределах: прямую и обратную, теорему о «сжатой переменной»)

.

Теорема 2. О единственности предела.

Если функция имеет предел, то только один.

Теорема 3. О пределе константы

Если функция сохраняет постоянное значение для всех х, т.е. f(x)=const, то предел этой функции равен этой константе [или говорят: предел константы равен самой константе]

Теорема 4. О пределе суммы(разности) двух функции.

Предел суммы(разности) двух функции, имеющих предел, равен сумме(разности) пределов этих функции

.

Теорема 5. О пределе произведения двух функции.

Предел произведения двух функции, имеющих предел, равен произведению пределов этих функции.

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела

Теорема 6. О пределе частного двух функции.

Предел отношения двух функций, имеющих предел, равен отношению пределов этих функций

Теорема 7. О предельном переходе под знаком неравенства

Если функция f(x) и g(x) в окрестности х0 удовлетворяют неравенству f(x)<g(x), то можно перейти к пределу в этом неравенстве.

Теорема 8. о пределе «сжатой» переменной.

если три функции   связаны неравенством и крайней функции f(x) и g(x) при стремятся к одному пределу

ПИНФ - 4. Формулы 1-го и 2-го замечательных пределов, следствия из них. Какого вида неопределенности раскрывают эти пределы?

ПИНФ - 5. Как сравнить две бесконечно малые величины? Какие возможны случаи?  Что такое относительный порядок малости?

ПИНФ - 6. В каком случае бесконечно малые будут эквивалентны? Таблица эквивалентных б.м.в. (знать наизусть 8 основных). Свойства (теоремы 1 и 2) эквивалентных б.м.в.

ПИНФ - 7. Перечислить 7 видов неопределенностей.

ПИНФ - 8. Определение односторонних пределов функции в точке.

Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке, с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

ПИНФ - 9. Сформулировать 4 определения непрерывности функции в точке.

Определение 4(на «языке δ- ε» :

Рассмотрим функцию f(x), которая отображает множество действительных чисел R на другое подмножество B действительных чисел. Говорят, что функция f(x) является непрерывной в точке a∈R, если для любого сколь угодно малого положительного числа, существует такое сколь угодно малое число δ, такое, что для всех x∈R, удовлетворяющих соотношению |x−a| <δ, выполняется неравенство |f(x)−f(a)|<ε.

Множество R говорит нам о том, что числа действительные

ПИНФ - 10. Что такое разрыв функции в точке? Какие типы разрывов следует различать?

Определение:

Типы разрывов:

1. Устранимый

2. Разрыв 1-го рода

3. Разрыв 2-го рода

ПИНФ - 11. Дать определения устранимого разрыва, неустранимых разрывов 1-го и 2-го рода. В чем их отличие? Уметь привести графические иллюстрацию

Отличие в том, что устранимый разрыв представляет собой точку, в которой функция не существует и значения слева и справа стремиться к этой точке. Неустранимый 1-го рода характеризуется скачком функции в данной точке. А в 2-го рода разрыве функции уходят в бесконечность

ПИНФ - 12. Свойства функций непрерывных в точке.

ПИНФ - 13. Что такое непрерывность функции на интервале?

Если функция непрерывна в каждой точке интервала, то такая функция непрерывна на всём интервале

ПИНФ - 14. Теоремы о функциях, непрерывных в замкнутом промежутке: Вейерштрасса, две теоремы Больцано-Коши. Графическая иллюстрация теорем.

Тема 6. Производная функции одной переменной – ПФОП

Уметь:

дифференцировать функции любого типа: сложные, заданные параметрически, показательно-степенные, используя правила дифференцирования и таблицу производных, находить производные и дифференциалы высших порядков, использовать производные для вычисления пределов функций.

ПФОП - 1. Схема, приводящая к понятию производной. Определение производной, ее геометрический, механический и физический смысл.

ПФОП - 2. Дать понятие дифференцируемости функции в точке и на интервале. Как связаны понятия "непрерывности" и "дифференцируемости" функции в точке? Привести графические примеры функций, непрерывных, но не дифференцируемых в точке. Как записывается приращение дифференцируемой функции?

Если производная в точке (предел отношения приращения аргумента к приращению функции) существует, то такая функция дифференцируема в данной точке.

Если функция дифференцируема во всех точках интервала, так такая функция дифференцируема на интервале.

Если функция дифференцируема в данной точке, то она в точке непрерывна. Но обратное неверно.

Пример функции непрерывной, но не дифференцируемой:

Приращение дифференцируемой функции записывается как разность значения функции в конечной и начальной точках