2. Условие параллельности прямых в пространстве:

Ясно, что направляющие вектора параллельных прямых коллинеарны. Запишем условие коллинеарности этих векторов в координатной форме:

Это и будет условием параллельности прямых в пространстве.

3. Условие перпендикулярности прямых в пространстве:

Так же ясно и то, что направляющие вектора перпендикулярных прямых перпендикулярны. Запишем условие перпендикулярности векторов:

(s₁ · s₂) = 0

m₁m₂ + n₁n₂ + p₁p₂ = 0

Это и будет условием перпендикулярности двух прямых в постранстве.

3Dаг - 7. Выведите формулу для вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве

Расстояние от точки до прямой, есть длина перпендикуляра опущенного из этой точки на данную прямую.

Допустим, дана точка M₀(x₀;y₀;z₀). Надо найти расстояние от нее до прямой

s = {m;n;p}

Для нахождения этого расстояния необходимо сначала составить вектор соединяющий данную точку с точкой на прямой: M₀M = {x₁ – x₀; y₁ – y₀; z₁ – z₀}. Далее, по построенному вектору и направляющему вектору прямой построим параллелограмм. Тогда расстояние между точкой и прямой будет равно высоте параллелограмма. Она находится по формуле:

Где S – площадь параллелограмма. Находится с помощью векторного произведения векторов-сторон. При векторном произведении получается вектор, следовательно, нам нужна длина этого вектора. – длина основания параллелограмма, т.е. длина направляющего вектора s. Отсюда получается, что расстояние от точки до прямой будет находится так:

3DАГ - 8. Как определяется взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве? Запишите формулы для определения угла между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

3DАГ - 9. Как найти точку пересечения прямой и плоскости в пространстве?

Для решения данной задачи требуется составить систему уравнений. При этом решение задачи значительно упроститься если привести уравнение прямой к параметрическому виду. Подставить получившиеся значения в уравнение плоскости и решить относительно t.

Пример:

3DАГ - 10. Назовите поверхности 2-го порядка и напишите их канонические уравнения. Уметь по уравнению определить тип поверхности и построить по основным параметрам.

!!!!!!!! Уметь по уравнению определить тип поверхности и построить по основным параметрам.

Смотри и запоминай юный планокур.

Приводишь ты такой уравнение в нормальный вид. Слева у тебя переменные, справа свободный член. И смотришь инструкцию:

Шаг 1 – посмотри все ли три переменные у тебя есть в уравнении. Если у тебя нет хоть одной – ори что это цилиндрическая поверхность. Если все три то Шаг 2

Шаг 2 – Все ли переменные у тебя в квадрате? Если нет твоя херня – это параболоид. Тут есть 2 параболоида на какой сам сядешь, на какой мать посадишь:

1. Эллиптический – это если при переменных в квадрате у тебя плюс. А вот что у тебя с другой переменой тебе вообще похер, главное, что она есть:

2. Гиперболический – если как ты как не вертишь это херню у тебя получается минус при одной из квадратных переменных – то это оно

Если и это не помогло, то вскройся дуй в Шаг 3

Шаг 3 – Смотришь на знаки. Вот тут всё сложно 3,14здас будет.

1. Если всё такое положительное, да ещё коэффициенты при квадратах одинаковые – то пронесло. У тебя сфера!!

2. …..

3. Ты всё ещё тут?

4. Ну не повезло тебе

Шаг 4 – Если ты никак не можешь найти свободный член. И при этом ты можешь сделать так чтобы, перенеся всё в одну стороны у тебя был только один знак минус – тогда это конус.

ВАЖНО – минус обязателен!!!!!

Шаг 5 – А ты упёртый планокур. Если после того как ты привёл всё в надлежащий вид у тебя всё такое положительное, но коэффициенты при квадратах разные всё равно – то у тебя эллипсоид.

Шаг 6 - Ну смотри остались только гиперболоиды.

Их два вида:

1) Одно полостной - Если при свободном члене у тебя знак плюс, а при квадратах один минус – это однополостный

2) Если при свободном у тебя минус и слева тоже при одной из переменных минус, то это двуполостный