3Dаг - 3. Выведите формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости. Как определить расстояние между параллельными плоскостями?

Можно вывести формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости способом аналогичным тому, что мы применяли в вопросе 2DАГ-5. Путём скалярного произведения, находя из него проекцию вектора, созданного нами (из любой точки плоскости до исходной точки) на вектор нормали. Эта проекции и будет являться кратчайшим расстоянием до плоскости.

Для решения задачи о расстоянии между параллельными плоскостями требуется найти любую точку на одной из плоскостей. Сделать это можно, например, обнулив все координаты точки кроме одной.

Например

3Dаг - 4. Получить различные уравнения прямой в пространстве и поясните смысл параметров, входящих в уравнения.

1. Точкой и направляющим вектором

Допустим у нас есть точка M₀(x₀; y₀; z₀) и вектор S = {m; n; p}. Тогда для составления уравнения прямой надо взять произвольную точку M(x; y; z) и составить вектор

M₀M = {(x – x₀); (y – y₀); (z – z₀)}. Далее записать условие коллинеарности векторов S и M₀M:

Мы получили каноническое уравнение прямой в пространстве.

2. Двумя точками

Тогда надо за «начальную точку» взять одну из них и составить из них вектор, который будет служить направляющим, соответственно начинающийся в выбранной нами точке и записать уравнение прямой в каноническом виде.

Допустим есть точки M₁(x₁; y₁; z₁) и M₂(x₂; y₂; z₂). Составим вектор

M₁M­₂ = {(x₂ – x₁); (y₂ – y₁); (z₂ – z₁)} и запишем в каноническом виде:

!!!!!!! Надо заметить, что канонические уравнения, в том числе составленные по двум точкам, легко свести к параметрическим, прировняв все к параметру t.

3. Линия пересечения двух плоскостей в пространстве

Такие уравнения называют общими уравнениями прямой в пространстве. Они представляют из себя систему уравнений, содержащую два уравнения плоскости. В этом и есть смыл, т.е. смысл системы в том, что надо найти решения, удовлетворяющие всем уравнениям, так и тут, найдутся корни, которые будут удовлетворять уравнениям, а значит, плоскости проходить через одни и те же точки. Выглядит это уравнение — вот так:

3Dаг - 5. Изложите схему приведения общего уравнения прямой в пространстве к каноническому виду.

Переход от общего уравнения прямой к каноническому виду будет состоять из двух этапов:

1. Нахождение точки M₀ лежащей на данной прямой.

Как можно увидеть: общее уравнение прямой – это система линейных уравнений. Но она неопределенна, т.к. имеет три переменных и только два уравнения. Для решения такой системы надо взять одну переменную произвольно, обычно любую переменную приравнивают к нулю, например, прировняем в системе

z = 0. Тогда эта система примет вид:

Такую систему уже можно без проблем решить любым удобным образом. В итоге получатся координаты точки M₀ где z = 0. M₀(x₀; y₀; 0).

2. Нахождение направляющего вектора S.

Направляющий вектор прямой будет перпендикулярен обоим векторам нормали к плоскостям, координаты которых равны коэффициентам при переменных в уравнениях системы (*). N₁ = {A₁;B₁;C₁}, N₂ = {A₂;B₂;C₂}. Следовательно, направляющий вектор можно найти, как векторное произведение векторов нормали N₁ и N₂:

[N₁ x N₂] =

Таким образом получим направляющий вектор и все. Далее надо только записать каноническое уравнение по инструкции из ответа на вопрос 3DАГ-4.

3DАГ - 6. Как определяется взаимное расположение прямых в пространстве? Запишите формулы для определения угла между прямыми в пространстве, условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

1. Формула для определения угла между прямыми:

Прямые в пространстве могут быть параллельны, перпендикулярны и в общем случае образовывать между собой какой-то угол. Углом между двумя прямыми является угол между двумя лучами, выходящими из какой-либо точки пространства, параллельно данным прямым. И понятно, что этими лучами могут служить направляющие векторы данных прямых. Получается, что угол между двумя прямыми есть угол между направляющими векторами данных прямых. Таким образом все задачи на взаимное расположение прямых в пространстве сводятся к задаче о взаимной ориентации направляющих векторов. И получается. Что во всех случаях будет необходимо определить координаты направляющих векторов по данным уравнениям. Будь они в каноническом, параметрическом или общем виде.

Пусть даны две прямые:

l₁ : => s₁ = {m₁;n₁;p₁}

и l₂ : => s₂ = {m₂;n₂;p₂}

Т.к. угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами, то достаточно записать формулу для определения косинуса между векторами s₁ и s₂

Cosα = cos(s_1, s₂) = .

Cosα = .

Таким образом находим косинус угла между векторами, а, следовательно, и между прямыми и определяем угол.