Тема 2. Векторная алгебра – ва

ВА - 1. Что называется, вектором, модулем вектора?

ВА - 2. Дайте понятия коллинеарных, компланарных, свободных, равных векторов. Сформулируйте условие равенства векторов.

Векторы называются равными если они коллинеарные, имеют одинаковую длину и направлены в одну сторону

ВА - 3. Как выполняются линейные операции над векторами геометрически? Каковы свойства этих операций?

Свойства линейных операций над векторами:

1)      ;

2)      ;

3)      ;  ;

4)      ;

5)      ;

6)      ;

7)      ;  ;

ВА - 4. Какие векторы называются линейно зависимыми и независимыми?

Линейно зависимыми называют вектора, линейная комбинация которых равна 0. При этом коэффициенты линейной комбинации не равны нулю все одновременно. Таким образом любой линейно зависимый вектор может быть выражен через другие вектора с помощью линейной комбинации.

Если же ни один из векторов системы не может быть выражен через другие линейной комбинацией, то такая система и входящие в неё векторы называются линейно независимой системой и линейно независимыми векторами

ВА - 5. Дайте понятие базиса на прямой, плоскости и в пространстве. Что такое координаты вектора. Какое главное свойство базисных векторов, как определить их количество.

Базис образуется максимально возможным числом линейно независимых векторов.

1. Так в одномерном пространстве(на прямой) такой вектор только один. Через него всегда можно выразить любой другой вектор в одномерном пространстве, т.к. любой другой вектор в одномерном пространстве будет коллинеарен

2. В двумерном пространстве базисом может служить любая пара неколлинеарных векторов. Т.к. они будут являться линейно независимыми

3. В трёхмерном пространстве любая тройка некомпланарных векторов.

Коэффициенты при линейной комбинации называют координатами вектора в этом базисе

Главное свойство базисных векторов в том, что они линейно независимы.

Количество базисных векторов равно количеству линейно независимых для данного пространства равно размерности данного пространства

ВА - 6. Какой базис называется декартовым? Как осуществляются линейные операции над векторами в координатной форме?

Декартовый базис – базис состояний из трёх взаимно перпендикулярных единичных векторов.

Все линейны операции над векторами сводятся к точно таким же линейным операциям над их соответствующими координатами

ВА - 7. Модуль вектора в декартовом базисе. Координаты вектора, заданного координатами начальной и конечной точек. Расстояние между двумя точками.

ВА - 8. Дать понятие орта вектора. Направляющие косинусы вектора. Их основное свойство.

Для задания вектора нужно знать его длину и направление. Направление задаётся углами, которые вектор образует с осями. Зная координаты можно найти косинусы этих углов. Заметим, что направляющие косинуса являются координатами орт-векторов.

Это и есть основное свойство направляющих косинусов.

ВА - 9. Что называется, скалярным произведением двух векторов? Геометрическая иллюстрация (связь с проекцией). Каковы его свойства? Как выражается скалярное произведение через координаты перемножаемых векторов? Для решения каких задач и как может быть использовано скалярное произведение? (5 приложений с формулами)

ВА - 10. Что называется, векторным произведением двух векторов? Дать определение и изобразить на рисунке. Геометрический смысл векторного произведения. Каковы его свойства? Как выражается векторное произведение через координаты перемножаемых векторов? Для решения каких задач и как может быть использовано векторное произведение?

ВА - 11. Что называется, смешанным произведением трех векторов? Геометрический смысл смешанного произведения. Каковы его свойства? Как выражается смешанное произведение через координаты перемножаемых векторов? Для решения каких задач и как может быть использовано смешанное произведение?

ВА - 12. Запишите в векторной и координатной формах условия коллинеарности, перпендикулярности и компланарности векторов. Общая формула длины вектора. Когда она применяется. В чем отличие скалярного и векторного произведений?

Формула длины вектора: ;

Применяется если известны все координаты вектора.

Итогом скалярного произведение является число, когда векторное произведение будет давать нам вектор.

Тема 3. Аналитическая геометрия на плоскости – 2DАГ

2DАГ - 1. Получить (вывести) все виды уравнений прямой на плоскости и указать геометрический смысл параметров уравнений.

1. В данном примере мы получим общее уравнение прямой на плоскости

2. Каноническое уравнение:

3. Прямая проходящая через две заданные точки

4. Параметрическое

5. Прямой с угловых коофицентом

6. Уравнение прямой в отрезках

Обобщение:

2DАГ - 2. Дайте понятие нормального и направляющего векторов прямой, углового коэффициента.

Нормальным или вектором нормали называется любой вектор перпендикулярный прямой.

Направляющий – это любой вектор параллельный прямой

Коэффициент k называют угловым коэффициентом, он численно равен тангенсу угла наклона. Может быть получен тремя вышеперечисленными способами.

2DАГ - 3. Исследование общего уравнения прямой на плоскости. Построение прямой на плоскости.

Исследование общего уравнения прямой заключается в извлечении информации о координатах вектора нормали, зная вектор нормали можем получить и направляющий вектор. А также получить информацию о координатах этой точки, которые можно использовать при построении прямой на плоскости.

     1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;

     2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;

     3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

     4) y = 0 - ось Ox;

     5) x = 0 - ось Oy.

Общий подход построения прямой на плоскости состоит в определении координат двух точек, через которые проходит прямая.

2DАГ - 4. Как определяется взаимное расположение прямых на плоскости. Запишите формулы для определения угла между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности в случае различных видов уравнений прямых. Как найти точку пересечения прямых?

Задачи на взаимное расположение прямых на плоскости решаются путём нахождения координат вектора нормали или направляющих. Далее используются средства векторной алгебры.

Так в случае нахождения угла между векторами используется формула скалярного произведения векторов:

Параллельность прямых обуславливается коллинеарностью векторов нормали или направляющих. Перпендикулярность обусловлена перпендикулярностью векторов нормали. Условие коллинеарности и перпендикулярности:

Точка пересечения прямых находятся путём создания системы двух уравнений прямых. Решением системы и будет являться точка пересечения.