Тема 1. Линейная алгебра - ла
ЛА - 1. Что такое определитель? Основные свойства, конкретно: в каких случаях определитель не изменится, в каких случаях определитель равен нулю, остальные свойства, которые используются для вычисления. Дайте определения минора и алгебраического дополнения. Сформулируйте основное правило вычисления определителей.
ЛА - 2. Что такое матрица, отличие матрицы от определителя. Виды матриц. Как осуществляются линейные операции над матрицами? Свойства линейных операций. Условие равенства матриц.
Числовой матрицей размера (m*n) называют прямоугольную таблицу чисел, состоящую из m строк и n столбцов.
Определитель является числом, когда матрица является прямоугольной таблицей.
– переместительный закон
– сочетательный закон
Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны.
ЛА - 3. Как перемножить две матрицы? Сформулируйте правило умножения матрицы на матрицу. Какие матрицы можно перемножать. Как возвести матрицу в целую положительную степень? Свойства произведения матриц.
Свойство нелинейных операций (Свойства произведения матриц):
ЛА - 4. Какая матрица называется обратной для данной матрицы? Любая ли матрица имеет обратную? Что такое вырожденная матрица? Схема нахождения обратной матрицы. Основные типы матричных уравнений и схемы их решения.
Вырожденная матрица не имеет обратной. Вырожденной называется матрица, определитель которой равен 0.
ЛА - 5. Дать определения: 1) решения системы линейных уравнений; 2) "совместной," 3) "несовместной, 4)"определённой", 5)"неопределённой" систем.
Решением называется совокупность чисел, которая при подстановке в каждое уравнение системы вместо неизвестных обращает эти уравнения в верные числовые равенства
Совместной называют систему, имеющую хотя бы одно решение
Несовместной называют систему, не имеющую решений
Определённая – совместная система, имеющая единственное решение
Неопределённая – совместная система имеющая множество решений
ЛА - 6. Понятие миноров матрицы, отличие от миноров элементов. Что называется, рангом матрицы? (3 определения ранга). Как он находится? Сформулируйте теорему Кронеккера – Капелли о совместности систем. При каких условиях система линейных уравнений имеет единственное и множество решений? (сравнение ранга с числом неизвестных)
Минор вычисляется по определённому правилу в отличии от исходного элемента, который уже подсчитан.
Ранг – это максимальное число линейно независимых строк
Ранг – это наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы
Из определения – приводят матрицу к треугольному виду, линейно зависимы строки при этом вычёркиваются и по количеству линейно независимых судят о ранге.
Теорема Кронекера - Капелли – система линейных уравнений тогда и только тогда совместна, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной.
Обозначим n за число неизвестных, а R за ранг:
R=n – система имеет единственное решение.
R<n – система имеет бесконечное множество решений.
ЛА - 7. В чем заключается матричный метод и Крамера решения систем. В каких случаях они применимы?
Применимы только в случае, если определитель не равен нулю
ЛА - 8. Опишите метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Какие неизвестные и в каком случае называются базисными, какие свободными, как они выбираются? Что такое общее и частное решения неопределенной системы?
В случае если система совместна и неопределенна, то мы можем выделить из неё базисный минор так, что он будет существовать как в расширенной, так и в основной матрице и не будет равняться нулю. При этом неизвестные, коэффициенты которых попали в данный минор будут называться базисными. А остальные неизвестные - свободными.
В итоге для представления решения выражаются базисные неизвестные через свободные.
Общее решение – представлено в общем виде и состоит из свободных элементов и базисных, выраженных через свободные. Придавая значения, вместо свободных неизвестных мы будем получать частные решения уравнения.
ЛА - 9. Какие особенности имеет система однородных линейных уравнений? Почему такая система всегда совместна (дать разные варианты объяснения). В каких случаях она имеет ненулевые решения? Что такое фундаментальная система решений, какими она обладает свойствами, как находить ФСР?
Система называется однородной – если её свободные члены равны 0.
Особенности:
Такая система всегда имеет тривиальное решение, когда все переменные равны нулю. (система всегда совместна)
Ранг расширенной матрицы всегда равен рангу основной (система всегда совместна)
В случае если ранг матрицы меньше числа неизвестных (Rang A <n, то помимо тривиального решение система имеет бесконечное множество решений. (detA=0)
ФСР – совокупность решений, которая обладает двумя свойствами:
Состоит из n – R линейно независимых решений
Любое решение системы можно представить в виде линейной комбинации ФСР
Что бы найти фср:
В общем решении совместной неопределённой системы, каждому из свободных неизвестных нужно придать поочерёдно значения 1, когда остальные будут равны нулю.
Таким образом мы получим n-R линейно независимых решений, которые и образуют ФСР.
Далее можно представить решение в виде линейной комбинации ФСР:
Задавая произвольные значения коэффициентам, мы будем получать частные решения.
ФСР
является только
