2.3 Проверка гипотезы значимости различия средних значений двух рядов результатов испытаний

Решение этой задачи является составной частью идентификации двух рядов испытаний. Значимость различия устанавливается путем статистической проверки условия

(2.14)

где и - соответственно несмещенные оценки математического ожидания первого и второго рядов результатов испытаний.

Если при заданном р величина y статистически незначима, то разность систематических погрешностей обоих рядов имеет порядок случайных погрешностей, т.е. ряды результатов идентичны, или иначе – различие их незначимо.

Статистической проверке значимости различия должна предшествовать проверка равноточности обоих результатов по критерию Фишера (2.12). В зависимости от результатов этой проверки дальнейшее решение должно выполняться следующим образом.

При равноточных выборках коэффициент Стьюдента рассчитывается по условию

(2.15)

где S – оценка общего среднеквадратического отклонения для выборок с размерами n₁, n₂ и дисперсиями и :

(2.16)

При неравноточных выборках коэффициент Стьюдента рассчитывается иначе:

(2.17)

С использованием коэффициентов Стьюдента проверка гипотезы сводится к проверке выполнения неравенств

(2.18)

где – критерий Стьюдента, определяемый по таблицам для доверительной вероятности р и числа степеней свободы .

При выполнении условия (2.18) различие средних значений двух рядов результатов испытаний незначимо.

Таким образом, для проверки значимости различия двух рядов при заданном уровне вероятности р необходимо выполнить следующее:

• рассчитать по формулам (2.1) и (2.2) несмещенные оценки математического ожидания и дисперсий обеих выборок;

• рассчитать по (2.12) коэффициент Фишера и проверить гипотезу равноточности обеих выборок;

• в зависимости от выполнения условий равноточности выборок рассчитать по (2.15) или (2.16) коэффициент Стьюдента и по (2.18) проверить гипотезу значимости различия средних значений рассматриваемых выборок.

2.4 Проверка гипотезы нормального распределения вероятностей результатов . Испытаний

Если закон распределения вероятностей результатов испытаний близок к нормальному, то можно утверждать, что причины разброса этих результатов носят случайный, а не закономерный характер. Это и обуславливает актуальность решения задачи с практической точки зрения.

Для проверки гипотезы нормального распределения имеется большое число специализированных критериев. Чаще всего используется один из двух критериев согласия: критерий Пирсона (критерий χ²) и критерий Колмогорова.

Для применения критерия χ² весь диапазон изменения случайной величины в выборке объема n разбивается на k интервалов. Число интервалов k берут обычно в зависимости от объема выборки в пределах от 8 до 20. Число элементов выборки, попавших в i-й интервал, обозначим n_i.

На основании принятого закона распределения вычисляются вероятности p_i попадания случайной величины Х в i-й интервал. Величина, характеризующая отклонение выборочного распределения от предполагаемого, определяется формулой:

(2.19)

где k – число интервалов; n – объем выборки.

Сумма (2.19) имеет приближенно -распределение с f = k – c – 1 степенями свободы, где с – число параметров гипотетического закона распределения, определяемых по выборке.

Для нормального распределения с=2, если и , и определяются по данной выборке. Гипотеза о принятом типе закона распределения принимается на данном уровне значимости р, если

(2.20)

где определяются по таблице для выбранного уровня значимости и числа степеней свободы f. Если делается вывод, что гипотеза не согласуется с выборочным законом распределения.

При использовании критерия желательно, чтобы объем выборки был достаточно велик: , а количество элементов . Если какое либо из , то два или несколько соседних интервала должны быть объединены в один. При этом соответственно уменьшается число степеней свободы.

Вероятности p_i попадания значений случайной величины в i-й интервал для нормального закона распределения можно определить по формуле:

(2.21)

Для применения критерия Колмогорова необходимо определить наибольшее абсолютное отклонение выборочной функции распределения от генеральной :

(2.22)

Затем вычисляется величина λ:

(2.23)

Если вычисленное значение λ меньше табличного , то гипотеза о совпадении теоретического закона распределения F(x) с выборочным F_n(x) не отвергается. При гипотеза отклоняется или считается сомнительной. Уровень значимости р при применении критерия Колмогорова выбирают обычно равным 0,2 0,3.

В случае выборок небольшого объема n<20 для проверки гипотезы о законе распределения можно использовать простые критерии, основанные на сравнении генеральных параметров распределения и их оценок, полученных по выборке.

Нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами – математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением . Все остальные моменты нормального распределения выражаются через математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение. Для нормального распределения коэффициент ассиметрии равен 0, коэффициент эксцесса также равен 0.

Выборочные коэффициенты ассиметрии и эксцесса определяются по формулам:

(2.24)

(2.25)

Распределения этих оценок сложны и мало изучены. Однако известны дисперсии этих величин:

(2.26)

(2.27)

Зная дисперсии и , можно оценить, значимо ли выборочные коэффициенты ассиметрии и эксцесса отличаются от нуля. Если

(2.28)

(2.29)

то наблюдаемое распределение можно считать нормальным.