Механика Баллистика. Относительность

В задачах, где рассматривается относительное движение двух брошенных камней, бывает полезно переходить в систему отсчёта, связанную с одним из камней. Она движется относительно земли с ускорением свободного падения g, и потому движение второго камня в этой системе отсчёта будет равномерным и прямолинейным.

Задача 1.

Два камня брошены одновременно: один — с высоты h вертикально вниз со скоростью u, другой — с поверхности земли вертикально вверх со скоростью v. Через какое время камни окажутся на одной высоте над землёй? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 2.

Два камня бросили одновременно из одной точки под углами 20◦ и 80◦ к горизонту с одинаковыми скоростями v0 = 15 м/с. Найдите расстояние между камнями через τ = 1 секунду. Ответ выразить в метрах. Если ответ не целый, то округлить до сотых. Ускорение свободного падения равно 10 м/c2 . Сопротивление воздуха не учитывать. м = 15 τ0v

Задача 3. (Всеросс., 1998, IV этап, 9 )

О дновременно из одной точки брошены два тела с одинаковыми по модулю скоростями |v1| = |v2| = v0: первое — вертикально вверх, второе — под углом α к горизонту (см. рисунок). В дальнейшем они двигались поступательно. Определите скорость второго тела относительно первого в момент времени, когда второе тело будет находиться в точке A, достигнув половины своей максимальной высоты полёта. Сопротивлением воздуха пренебречь.

З адача 4. (Всеросс., 1998, IV этап, 10)

Из точек A и B, находящихся на одной горизонтальной прямой, одновременно бросили два камня с одинаковыми по модулю скоростями v0 = 20 м/с. Один из них полетел по навесной траектории, а другой — по настильной, и каждый упал в точку старта другого камня. Известно, что угол бросания α камня из точки A составляет 75◦ (см. рисунок). Через какое время после бросания расстояние между камнями станет минимальным? Чему равно это расстояние? Укажите на рисунке положения камней в этот момент.

Баллистика. Векторы

Вектор скорости v и вектор перемещения s тела, двигающегося в поле силы тяжести, зависят от времени следующим образом:

В некоторых задачах имеет смысл не торопиться проектировать уравнения (1) и (2) на координатные оси (как это обычно делается), а вместо этого нарисовать соответствующие векторы и поизучать возникающие геометрические ситуации.

Задача 5.

Треугольник скоростей. В силу формулы (1) векторы v, v0 и gt связаны правилом треугольника сложения векторов. Положив v0 = OA и v = OB, нарисуйте векторный треугольник OAB (треугольник скоростей). Как меняется треугольник скоростей с течением времени?

Задача 6.

С помощью формул (1) и (2) покажите, что вектор s/t равен полусумме векторов v0 и v. (Таким образом, вектор s/t является медианой OM треугольника скоростей OAB.)

Задача 7. (Всеросс., 2012, регион, 10 )

Камень бросили под углом к горизонту с начальной скоростью v0 = 25 м/с. Через время τ он достиг максимальной высоты, удалившись по горизонтали на расстояние L = 30 м от места броска. Найдите время τ . Примите ускорение свободного падения равным g = 10 м/с2

З адача 8. (Всеросс., 1999, финал, 9 )

Кот Леопольд сидел у края крыши. Два злобных мышонка выстрелили в него из рогатки. Однако камень, описав дугу, упал у ног кота (см. рисунок) через время τ = 1 с. На каком расстоянии s от мышей находился кот Леопольд, если известно, что векторы скоростей камня в момент выстрела и в момент падения были взаимно перпендикулярны?

З адача 9. (Всеросс., 2002, финал, 10 )

Кот Леопольд сидел на самом краю крыши сарая. Два озорных мышонка решили выстрелить в него из рогатки, но кот заметил их и решил отстреливаться. . . Камни из рогаток мышат и кота вылетели одновременно и столкнулись в середине отрезка AB (см. рисунок). Найди- те высоту H сарая и отношение пути, пройденного камнем кота Леопольда, к пути, пройденному камнем мышат, если известно, что ϕ = 30◦ , скорость камня, вылетевшего из рогатки мышат, v0 = 7 м/с, а кот выстрелил горизонтально.