Лекция 2.3. Задачи, приводящие к понятию производной. Определения производной и частных производных, их геометрический смысл. Правила дифференцирования, таблица производных
Прогнозируемые результаты обучения:
Базовые понятия:
– приращение аргумента,
– приращение функции,
– производная,
– частная производная,
– касательная,
– скорость и ускорение движения.
Базовые операции:
– вычисление производной,
– применение понятия производной.
При чтении лекции используется создание проблемных ситуаций, с элементами визуализации, активизирующих познавательную деятельность студентов.
Ориентация на развитие компетенций:
ОК-5 – способность к самоорганизации и самообразованию;
ПК-1 – способность к анализу и синтезу;
ПК – 8: способность использовать информационные средства и технологии при решении задач, возникающих в ходе профессиональной деятельности;
ОПК-4 – готовность сочетать теорию и практику для решения инженерных задач.
Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.
2.3.1. Задачи, приводящие к понятию производной
Рассмотрим следующие задачи: о нахождении скорости произвольного неравномерного движения (задача 1) и о построении касательной к графику функции (задача 2).
Задача 1.
Пусть материальная точка (некоторое
тело) M
движется неравномерно по некоторой
прямой. Пройденный путь
зависит от времени
по закону
.
Требуется найти скорость движения точки в данный момент времени (мгновенная скорость).
Р
ешение:
Пусть в некоторый момент времени t
точка занимает положение
,
тогда в момент времени
(
–
приращение времени) точка займет
положение
.
Таким образом, перемещение точки
за время
будет
(см. рис.
2.3.1).
Среднюю скорость
движения точки за время
выражает отношение
,
т.е.
.
Средняя скорость
зависит от значения ∆t:
чем меньше
,
тем точнее средняя скорость выражает
скорость движения точки в данный момент
времени t.
Поэтому предел средней скорости движения
при
и есть мгновенная скорость,
,
или
. (2.3.1)
Задача 2.
Пусть дан график непрерывной кривой
,
имеющий в точке
невертикальную касательную. Для
построения этой касательной требуется
найти её угловой коэффициент
,
где
– угол наклона касательной к оси
.
Решение:
Проведем через точку
и точку
секущую (см. рис. 2.3.2), где угол
– угол наклона секущей к оси
.
(как отношение
противолежащего катета к прилежащему
в прямоугольном треугольнике
(см. рис. 2.3.2)). Таким образом,
Так как
– непрерывная функция, то при
приращение
тоже стремится к нулю, поэтому точка
неограниченно приближается по кривой
к точке
,
а секущая
переходит в касательную. Угол
→
,
т.е.
.
Найден угловой коэффициент касательной
,
. (2.3.2)
К нахождению пределов вида (2.3.1) и (2.3.2) приводят решения и множества других задач.
Например:
– если
– количество электричества, проходящего
через поперечное сечение проводника
за время
,
то
– сила тока в момент времени
равна
; (2.3.3)
– если
– количество вещества, вступающего в
химическую реакцию за время
,
то
– скорость химической реакции в момент
времени
равна
; (2.3.4)
– если
– масса неоднородного прямолинейного
стержня, то
– линейная плотность стержня в точке
равна
. (2.3.5)
Пределы (2.3.1) – (2.3.5) имеют одинаковый вид; везде требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел назвали производной.