2.2.3. Признаки существования пределов
Не всякая функция,
даже ограниченная, имеет предел. Например,
функция
при
предела не имеет. Во многих вопросах
анализа бывает достаточно только
убедиться в существовании предела
функции. В таких случаях пользуются
признаками
существования пределов.
Теорема 5. (О пределе промежуточной функции)
Если функция
заключена между двумя функциями
и
,
стремящимися к одному и тому же пределу,
то она также стремиться к этому пределу,
т.е. если
,
и
,
то
.
Доказательство:
Так как и , то для любого существуют две окрестности и точки , для всех точек которых соответственно выполняются неравенства
и
.
Пусть – меньшее из чисел и . Тогда в – окрестности точки выполняются оба неравенства.
По условию
,
тогда
.
Получаем
или
.
Это значит, что
,
т.е.
.
Ч.
и т.
д.
Теорема 6. (О пределе монотонной функции)
Если функция
монотонна и ограничена при
или при
,
то существует соответственно её левый
предел
или её правый предел
.
Теорема 7. (Вейерштрасса)
Ограниченная монотонная последовательность , , имеет предел.
Заметим, что теорему 7 можно считать следствием теоремы 6.
2.2.4. Замечательные пределы
Первым замечательным пределом называется предел вида
(2.2.1)
Доказательство:
Для доказательства
формулы (2.2.1) рассмотрим круг радиуса
с центром в точке
.
П
усть
–
радиус вектор точки
,
лежащей на окружности радиуса
с центром в точке
,
образующий угол
с осью
,
дуга
численно равна центральному углу
(см. рис. 2.2.2).
На рис.2.2.2 видно,
что площадь треугольника
меньше площади сектора
,
которая в свою очередь меньше площади
прямоугольного треугольника
,
т. е.
.
Так как
,
то имеем
.
Разделим все части
полученного двойного неравенства на
,
получаем
или
.
Так как функции
и
четные, то полученные неравенства
справедливы и при
.
и
.
Тогда по признаку (о пределе промежуточной функции) существования предела (см. теорему 5 п. 2.2.3) . Ч. и т. д.
Примеры.
1.
2.
.
Вторым замечательным пределом называется предел вида
(2.2.2)
или
. (2.2.3)
Доказательство:
Для доказательства
формулы (2.2.2) рассмотрим прежде предел
числовой последовательности
,
при
.
Докажем, что эта
последовательность удовлетворяет
теореме Вейерштрасса (см. теорема 7 п.
2.2.3), т.е. имеет предел и он равен
,
иначе говоря
. (2.2.4)
Докажем, что последовательность возрастающая, а значит монотонная, и что она ограничена.
По формуле бинома Ньютона
.
Полагая
,
,
получим
т. е.
(2.2.5)
Из последнего
равенства следует, что с увеличением
число положительных слагаемых
увеличивается, число
убывает, поэтому величины
,
,
возрастают, поэтому последовательность
– возрастающая,
при этом
. (2.2.6)
Покажем, что
последовательность
– ограничена. Заменим каждую скобку в
правой части равенства (2.2.5) на единицу;
правая часть увеличится, получим
неравенство
.
Усилим полученное неравенство, заменив числа 3, 4, 5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:
.
Сумму в скобке
найдем по формуле суммы
членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии с
и
:
.
Поэтому
. (2.2.7)
Итак, последовательность
– ограничена, при этом для
выполняются неравенства (2.2.6) и (2.2.7):
.
Следовательно, на
основании теоремы Вейерштрасса
последовательность
,
,
имеет предел, обозначенный
:
.
Ч.
и т.
д.
Число
называется неперовым
числом. Число
иррациональное, его приближенное
значение равно
.
Число
принято за основание натурального
логарифма.
Докажем теперь
что к числу
стремится и функция
при
:
.
1. Пусть
.
Каждое значение
заключено между двумя положительными
целыми числами:
,
где
– это целая часть числа
.
Отсюда следует
,
,
поэтому
.
Если
,
то
.
Поэтому согласно формуле (2.2.4), имеем:
.
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов (см. теорему 5 п. 2.2.3)
(2.2.8)
2. Пусть
.
Сделаем подстановку
,
тогда
и при
,
.
Получаем
т. е.
(2.2.9)
Из равенств (2.2.8) и (2.2.9) вытекает равенство (2.2.2), т.е.
. Ч. и т. д.
Докажем равенство
(2.2.3)
:
выполним подстановку
,
тогда
и при
,
.
Получаем
.
Ч.и
т.
д.
Примеры.
1.
,
т.к.
,
,
то окончательно получим
2.
,
т.к.
то окончательно
получим
3.
Выполним подстановку
,
тогда
и при
,
.
Получаем
.
Используя прием, рассмотренный в приведенных выше примерах можно найти множество других пределов.
При вычислении
пределов вида
где
возможны варианты.
1. Если
то
.
2. Если
то
.