2.4.2. Производная функции, заданной параметрически
Рассмотрим функцию одной переменной, заданную параметрически
Предполагая, что
имеет однозначную обратную функцию
,
продифференцируем
по
,
как сложную функцию, считая
промежуточным аргументом:
,
.
Так как
– обратная функция для функции
,
то
.
Тогда
.
Пример.
Найти
,
если
Решение:
,
.
Ответ:
.
2.4.3. Логарифмическое дифференцирование
Производную функции одной переменной, а также частные производные функции двух и нескольких переменных в некоторых случаях можно найти значительно проще, если функцию предварительно прологарифмировать, а затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.
Логарифмическое
дифференцирование обычно применяется
при отыскании производной от
степенно-показательной функции
,
где
,
(
,
для функции двух независимых переменных)
и от произведения функций, т.е. в тех
случаях, когда обычными методами
производную нельзя найти или вычисление
производной очень громоздко.
Примеры.
1.
Найти
,
если
.
Решение:
Прологарифмируем функцию:
.
По свойству
логарифма
:
– неявно заданная функция. Найдем
производную полученной функции, используя
способ 1 п. 2.4.1.
.
Так как
,
то
.
Ответ:
.
2.
Найти
,
,
если
.
Решение:
Прологарифмируем функцию:
.
По свойству
логарифма:
– неявно заданная функция.
Найдем , , используя способ 1 п. 2.4.1.
,
.
Тогда
,
.
Ответ:
,
.
3.
Найти
,
если
.
Решение: Прологарифмируем функцию:
– неявно заданная
функция одной переменной.
Найдем
,
используя способ 1 п. 2.4.1.
.
Ответ:
.
2.4.4. Производные высших порядков
Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.
Рассмотрим явно заданную функцию .
Производная этой
функции
– функция, зависящая от
.
Если функция
дифференцируема, то её производная
называется производной
второго порядка
и обозначается
или
.
Следовательно,
.
Производная от
производной второго порядка, если она
существует, называется производной
третьего порядка
и обозначается
.
Следовательно,
.
Производной
n-го
порядка
(или n-й
производной) называется производная
от производной
порядка:
.
Начиная с производной
четвертого порядка, производные
обозначают римскими цифрами или числами
в скобках (
или
– производная пятого порядка).
Пример.
Найти производную
-го
порядка от функции
.
Решение:
,
,
,
,
…………….,
.
Ответ: .
Рассмотрим функцию
заданную
неявно в
виде уравнения
.
Первую производную
от неявной функции можно найти по формуле
.
Так как первая производная
выражается через неявную функцию, то
при её повторном дифференцировании
нужно учитывать, что
.
Пример.
Найти производную второго порядка от
функции
.
Решение: Дифференцируем уравнение по .
.
Далее имеем:
.
Ответ:
.
Рассмотрим функцию заданную параметрически:
Как известно,
первая производная
находится по формуле
.
Найдем вторую производную от функции заданной параметрически. Из определения второй производной и формулы следует, что
,
т.е.
. (2.4.1)
Аналогично получаем
…,
и т.д.
Пример. Найти производную второго порядка от функции
Решение:
.
Тогда по формуле
(2.4.1)
.
Ответ:
.
Пусть материальная
точка
движется прямолинейно по закону
.
Как уже известно, производная
равна скорости точки в данный момент
времени:
.
Пусть в момент
времени
скорость точки равна
,
а в момент
– скорость равна
,
т.е. за промежуток времени
скорость изменилась на величину
.
Отношение
выражает среднее ускорение движения
точки за время
.
Предел этого отношения при
,
называется ускорением
точки
в данный момент времени
и обозначается
:
,
т.е.
.
Но
.
Поэтому
,
т.е.
.
Таким образом, вторая производная пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения, т.е.
.
Рассмотрим функцию
двух переменных, заданную в явном виде
.
Её частные производные
и
являются также функциями двух переменных
и
.
Следовательно, от них снова можно взять
частные производные по
и по
:
,
,
Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и т.д. порядков. Так,
.
Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например,
,
,
.
Пример.
Найти частные производные второго
порядка функции
.
Решение:
Так как
и
,
то
,
,
,
.
Оказалось, что
.
Этот результат не случаен. Имеет место
теорема.
Теорема 1. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.
В частности, для
имеем:
.