2.3.5. Производная обратной функции
Пусть
и
– взаимно обратные функции.
Теорема 4.
Если функция
строго монотонна на интервале
и имеет производную
в произвольной точке
,
то обратная ей функция
также имеет производную
в соответствующей точке, которая
вычисляется по формуле
или
(2.3.8)
Доказательство:
Рассмотрим обратную функцию
.
Дадим аргументу
приращение
.
Ему соответствует приращение
обратной
функции. Так как
– строго монотонная, то
.
И поэтому можно записать
.
В силу непрерывности
обратной функции
при
(по условию), тогда
.
Значит . Ч. и т.д.
Пример. Найти производные обратнотригонометрических функций и показательной функции.
1.
,
:
,
.
2.
,
:
,
.
3.
,
:
,
.
4.
,
:
,
.
5.
,
:
,
.
6.
,
:
,
.
2.3.6. Таблица производных
На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций, поэтому в приведенной ниже таблице формул дифференцирования аргумент заменен на промежуточный аргумент .
1.
|
9.
|
2.
|
10.
|
3.
|
11.
|
4.
|
12.
|
5.
|
13.
|
6.
|
14.
|
7.
|
15.
|
8.
|
16.
|
Лекция 2.4. Производная неявно заданной и параметрически заданной функций
Прогнозируемые результаты обучения:
Базовые понятия:
– способ задания функции,
– производная,
– порядок производной.
Базовые операции:
– вычисление производной.
Базовые методы:
– методы дифференциального исчисления.
При чтении лекции используется создание проблемных ситуаций, активизирующих познавательную деятельность студентов, с последующим составлением опорных конспектов.
Ориентация на развитие компетенций:
ОК-5 – способность к самоорганизации и самообразованию;
ПК-1 – способность к анализу и синтезу;
ПК – 8: способность использовать информационные средства и технологии при решении задач, возникающих в ходе профессиональной деятельности;
ОПК-4 – готовность сочетать теорию и практику для решения инженерных задач.
2.4.1. Производная неявно заданной функции
Если неявная функция одной переменной задана уравнением
,
а функция двух
переменных –
,
то для нахождения производной функции
одной переменной
и частных производных функции двух
переменных
и
нет необходимости разрешать уравнения
относительно функций
и
.
Рассмотрим два способа дифференцирования неявно заданной функции.
Способ 1.
Продифференцировать уравнение
по
,
считая
функцией от
,
а уравнение
отдельно по
и по
,
считая
функцией от
и
.
Затем полученные выражения разрешить
относительно
(в случае функции одной переменной) и
относительно
,
(в случае функции двух переменных).
Замечание. Производная неявно заданной функции является неявно заданной функцией.
Пример. Найти производные неявно заданных функций.
1.
– неявно заданная функция одной
переменной.
.
Выразим :
.
2.
– неявно заданная функция двух переменных.
Найдем частные
производные
и
.
Для этого:
– продифференцируем
уравнение по
:
,
выразим
:
;
– продифференцируем
уравнение по
:
,
выразим
:
.
Таким образом,
и
.
Способ 2.
Пусть дана неявно заданная функция одной переменной.
1)
Подставим в уравнение
функцию
:
.
Продифференцируем
полученное уравнение по независимой
переменной
как сложную функцию двух переменных,
используя формулу (2.3.11) (см. п. 2.3.4).
,
тогда
,
.
Таким образом,
.
2) Пусть дана неявно заданная функция двух переменных.
Продифференцируем
по
и по
как сложную функцию, используя формулу
(2.3.11) (см. п. 2.3.4).
,
.
Таким образом,
, 
.
Примеры. Найти производные неявно заданных функций.
1.
– неявно заданная функция одной
переменой.
,
здесь
.
,
.
2.
– неявно заданная функция двух переменных.
,
здесь
.
,
,
.
Тогда
,
,
т.е.
,
.
Оба рассмотренных способа применяются и для вычисления частных производных неявно заданной функции независимых переменных вида
, (3)
где
.
Чтобы найти
– частную производную такой функции
по переменной
,
необходимо продифференцировать уравнение
(3) по
,
считая
функцией от переменных
(способ 1), или воспользоваться формулой
(способ 2).