1.4 Решение задач на равновесие одного твердого тела, под действием произвольной плоской системы сил.

Задача 1. Однородная балка весом Р=200Н шарнирно закреплена в точке А. К концу балки В прикреплена нить перпендикулярно к балке и переброшена через блок С. Какой груз весом Q необходимо подвесить к нити для того, чтобы балка была в равновесии под углом в 30° к горизонту? Найти так же реакцию шарнира А. Весом нити и трением на блоке С пренебречь (рис. 14а).

Рис. 14

Решение. 1. Рассмотрим равновесие балки АВ.

2. К балке приложена одна активная сила , направленная вертикально вниз и приложенная к середине балки в точке О.

3. На балку наложены две связи: нить ВС и неподвижный шарнир в точке А. Освободим балку от связей и покажем на рисунке реакции этих связей. Реакцию неподвижного шарнира представляем ее составляющими и . Так как весом нити и трением на блоке С пренебрегаем, то реакция нити приложена к балке в точке В, направлена по нити и численно равна весу груза (рис 14 б).

Таким образом, если балка удерживается в равновесии грузом, переброшенным через неподвижный блок, то нужно отбросить и блок и груз, а их действие заменить реакцией нити, приложенной к балке в точке В и численно раной весу груза

4. Проводим оси координат. Направим ось X по горизонтали направо, а ось Y по вертикали вверх. Составляющие реакции шарнира А, т.е. и направим параллельно проведенным осям координат (рис. 14 б).

Вычисляем проекции всех сил на оси координат и их моменты относительно точки А (табл. 1).

Таблица 1

		0	0	-Q·cos60°
	0		-P	Q·cos30°
	0	0	P·AK	-Q·AB

5. Запишем уравнения равновесия:

а) сумма проекций всех сил действующих на балку на ось X:

, ;

б) сумма проекций всех сил на ось Y:

, ;

в) сумма моментов сил относительно точки А:

, .

6. Решаем полученную систему уравнений.

Так как , , то подставляя числовые значения в уравнение моментов, найдем .

Тогда из первого и второго уравнения получаем, что

; .

7. Для проверки правильности решения составим уравнение:

.

Подставляя значения входящих величин, получим:

,

,

, 0 = 0. Решение верно.

Задача 2. Однородный стержень АС весом Р=20Н в точке А закреплен шарнирно, а в точке В свободно опирается на опору В. На стержень действует пара сил, момент которой , а к концу стержня в точке С прикреплена нить, перекинутая через блок Д, к концу которой подвешен груз . Найти реакции шарнира А и опоры В, если (Рис. 15).

Рис. 15

Решение. 1. Рассмотрим равновесие стержня АС.

2. На стержень действуют сила , приложенная в точке О и направленная вертикально вниз, а так же пара сил с моментом М (рис. 15б).

3. Начало координат выберем в точке А, укажем оси координат (рис.15б).

4. На стержень наложены следующие связи: неподвижный шарнир в точке А, подвижная опора В и нить CД. Освободим стержень от связей и покажем на рисунке реакции этих связей. Реакцию шарнира А изобразим силами , , направленными параллельно осям координат. Реакция подвижного шарнира В направлена перпендикулярно плоскости, на которой установлена опора. Освободим стержень от нити СД, вдоль нити покажем ее реакцию , причем численно T=Q (рис. 15 б).

5. Вычислим проекции всех сил на осиxиy, а также моменты этих сил относительно точки А (табл. 2).

Таблица 2

						M
		0	0		Q	-
	0		-P		0	-
	0	0				M

6. Запишем уравнения равновесия: два уравнения проекций сил на оси координат и уравнение моментов этих сил относительно точки А:

, ;

, ;

, .

7. Решим полученную систему уравнений:

Из последнего уравнения найдем .

Тогда .

8. Для проверки правильности решения задачи составим уравнение: .

.

Подставляя в это уравнение численные значения входящих величин, имеем:

; 0=0, решение верно.

Задача 3. К однородной горизонтальной балке АВ весом Р=200кН, заделанной концом А в стену, приложена пара сил, момент которой М=200кНм. В точке В под углом 60° к горизонту приложена сила F=100кН. На участке ВС действует равномерно распределенная нагрузка интенсивности . Найти реакцию заделки А, если АВ=4м, ВС=1м (рис. 16а).

Рис. 16

Решение.1. Рассмотрим равновесие балки АВ.

2. К балке приложены активные силы: -сила тяжести балки, сила , приложенная в точке В, и пара сил с моментом М. Также на участке балки ВС приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивности . Заменим эту нагрузку силой , модуль которой равен .

Точка приложения силы находится в середине отрезка ВС, т.е. ВК=КС=0,5м.

3. На балку наложена одна связь – жесткая заделка в точке А. Эта связь не допускает никаких перемещений, а также любых поворотов балки. Реакциями жесткого защемления являются две силы , , приложенные в точке А, и пара сил с моментом

(рис. 16 б).

4. Проводим оси координат и вычисляем проекции сил на оси координат и моменты этих сил относительно точки А (табл. 3).

Таблица 3

						M
		0	0	0		-	-
	0			-Q		-	-
	0	0				-M

При вычислении момента силы воспользуемся теоремой Вариньона. Силу представили двумя ее составляющими, направленными параллельно осям координат и равными , . Тогда, согласно теореме, , где направлена параллельно оси X, а ей перпендикулярна. , так как линия действия этой силы проходит через точку А, а .

5. Запишем уравнения равновесия:

;

;

.

6. Решаем полученную систему уравнений:

Из первого уравнения:

Из второго уравнения:

Момент в заделке А вычислим из третьего уравнения:

7. Для проверки правильности решения задачи составим уравнение

0 = 0. Решение верно.

Задача 4. Балка AД закреплена при помощи неподвижного цилиндрического шарнира А и стержневой опоры . На балку действуют две силы , приложенные в точках B и Д, направленные под углом к балке и равные Р=10 кН. На участке ВС приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивности q=2 кН/м. Кроме того, на балку действует пара сил, которая стремится повернуть балку против часовой стрелки, момент этой пары сил равен . Определить реакции опор (рис. 17а).

Рис. 17

Решение. 1. Рассмотрим равновесие балки AД.

2. Изобразим на рисунке заданные силы: силы , приложенные в точках B и Д, силу , приложенную в середине отрезка BC, и пару сил с моментом М. Балка закреплена при помощи шарнирно неподвижной опоры А и стержневой опоры , являющиеся связями для балки.

3. Отбросим связи и заменим их действие реакциями. Реакция шарнирно неподвижной опоры А приложена в центре шарнира, ее направление зависит от действующих на балку сил и заранее не известна. Поэтому покажем реакцию шарнирно неподвижной опоры А двумя ее составляющими , , направленными параллельно осям координат. Реакцию стержневой опоры С направим вдоль стержня от балки к точке закрепления, предположив при этом, что стержень растянут (рис. 17 б).

4. Проведем оси координат: ось Ax– вдоль балки, Ay – перпендикулярно ей. Вычислим проекции сил , , действующих на балку и моменты этих сил относительно точки А (табл. 4).

Таблица 4

							M
		0	0			0	-
	0		-S			-Q	-
	0	0					M

5. Составим уравнения равновесия.

;

;

;

Момент пары входит только в уравнение моментов с положительным знаком, так как по условию задачи пара сил стремится вращать балку против часовой стрелки.

6. Решим полученную систему алгебраических уравнений.

Из первого уравнения имеем: .

Из третьего уравнения: .

Из второго уравнения: .

Отрицательное значение реакции означает, что она направлена в сторону, противоположную указанной на расчетной схеме (рис.17б).

Отрицательное значение реакции стержня указывает, что стержень сжат.

7. Проверка. Для проверки решения задачи составим уравнение моментов всех сил, действующих на балку, относительно точки Д:

.

Подставляя в это уравнение значения всех входящих величин, получим:

. Таким образом, задача решена верно.

З адача5. Плита АВ веса P=100Н свободно опирается в точке А на гладкую плоскость и удерживается под углом 45° к горизонту двумя стержнями BC и BД. Треугольник BCД – равносторонний. Точки C и Д лежат на вертикальной прямой. Стержни соединены с балкой и вертикальной стеной шарнирами B, C и Д. Пренебрегая весом стержней найти реакцию опоры А и усилия в стержнях (рис. 18а).

Рис. 18

Решение.

1. Рассмотрим равновесие плиты АВ.

2. В центре тяжести плиты, в точке О, приложена активная сила – вес плиты, направленная вертикально вниз.

3. Плита, удерживается в равновесии при помощи двух стержней BC и BД и опирается на гладкую поверхность в точке А.

Освободим плиту от связей. Реакция гладкой поверхности направлена по нормали к поверхности. Реакции стержней BC и BД приложены в точке В плиты и направлены по этим стержням. Считаем, что оба стержня растянуты, поэтому их реакции направляем к точкам закрепления стержней С и Д (рис. 18 б).

4. Проведем оси координат и вычислим проекции всех сил, действующих на плиту, на эти оси координат, а также моменты этих сил относительно точки В (табл. 5).

Таблица 5

	0
	-P
			0	0

5. Запишем уравнения равновесия:

, ;

, ;

;

6. Решим полученную систему уравнений:

.

Знак минус у реакции стержня BД означает, что этот стержень сжат.

7. Проверку полученного решения проведем путем составления уравнения .

;

;

; 0=0. Решение верно.