7. Проверка статистической гипотезы по критерию Пирсона
Критерий Пирсона
является наиболее употребляемым и
простым критерием для проверки
статистических гипотез. (Описать
(2-3 предложения), на чем основан критерий
Пирсона,
,
)
,
где n = 52
Для нахождения
необходимо
воспользоваться табличными распределениями
,
в которых значение с.в. находят по
заданному уровню значимости
и по вычисленному числу степеней свободы
.
Где
- число частичных интервалов (если в
некоторых частичных интервалах
,
то расположенные рядом интервалы
объединяют, так, чтобы было
.
При этом при заполнении Таблицы 3
суммируются соответствующие вероятности
и
).
Т.о.
- число объединенных или необъединенных
частичных интервалов.
- число параметров,
соответствующее предполагаемому закону
распределения.
Таблица 3.
i |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,558 |
29,016 |
0,011 |
0,572 |
28,444 |
809,061 |
1414,442 |
2 |
0,192 |
9,984 |
0,012 |
0,624 |
9,36 |
87,61 |
140,401 |
3 |
0,25 |
13 |
0,059 |
3,068 |
9,932 |
98,645 |
32,153 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1586,996
= 3 - 8 - 1 = -6 - число степеней свободы, r – число интервалов в Таблице 3, l – число параметров соответствующего закона распределения).
= 0,05 (уровень значимости критерия).
= - 12,592.(находим по таблице приложения, стр. 192)
Сравниваем полученные значения , и делаем вывод принятии или отклонении выдвинутой гипотезы о законе распределения (см. стр. 125, первый абзац).
8. Построение доверительных интервалов для м(х) и d(X). Вывод
Доверительный интервал оценки неизвестного параметра распределения – это интервал, который с заданной надежностью покрывает заданный интервал.
1. Доверительный интервал для мх:
(всем взять
)
А. Для нормального закона распределения в случае подтверждения гипотезы:
,
где
- исправленное выборочное среднее
квадратическое отклонение,
находим, пользуясь таблицей квантилей
распределения Стьюдента в зависимости
от вероятности
(надежность) и числа степеней свободы
.
Пусть = 0,95, = 51. Тогда = 1,6753 .
=
( 19,397 ; 19,451 ) .
В. В случае, если с.в. Х имеет закон распределения, отличный от нормального:
= ( 19,418 ; 19,43 ),
где
-
оценка математического ожидания, р
– доверительная вероятность;
- среднее
квадратическое отклонение выборочного
среднего,
= = 0,016,
- коэффициент, который находим как
значение аргумента, при котором функция
Лапласа равна
(т.е.
= 0,362) по таблице 2 приложений (стр.
188-189).
2. Доверительный интервал для дисперсии:
А. Для нормального закона распределения в случае подтверждения гипотезы:
,
где n
– объем выборки;
- несмещенная оценка дисперсии, р
– доверительная вероятность;
- значение, которое находят, пользуясь
таблицей П.7 (см. стр.
195-204) по
вероятности
= 0,025 и числу степеней свободы,
равному
;
- значение, которое находят, пользуясь
таблицей П.7 (см. стр.
195-204) по
вероятности
= 0,975 и числу степеней свободы, равному
.
В. В случае, если с.в. Х имеет закон распределения, отличный от нормального:
= ( 0,658 ; 0,722 ),
где
=
0,137,
- коэффициент, который находим как
значение аргумента, при котором функция
Лапласа равна
(т.е.
= 0,362) по таблице 2 приложений (стр.
188-189).
Если подтвердилась
гипотеза о равномерном законе
распределения, то можно воспользоваться
формулой:
= 0,088.
Литература.
Исакова, А. И. Пособие для практических занятий и контроля самостоятельной работы студентов по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика» [Текст] : учебное пособие. / А. И. Исакова, С. В. Матвеева, Т. П. Мирошниченко. - Омск : СибАДИ, 2007. – 207 с.