40) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Наибольшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение  , что для любого   справедливо неравенство  .

Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение  , что для любого   справедливо неравенство  .

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [a, b] используется следующий алгоритм:

1. найти производную функции (производная обозначается как f’(x));

2. найденную производную приравнять к нулю и решить уравнение f’(x) = 0;

3. из полученных корней уравнения выбрать те из них, которые принадлежат промежутку [a, b];

4. вычислить значения исходной функции в точках a и b, а также во всех х, которые являются значениями корней, полученных на шаге 3;

5. из всех значений функции, полученных на шаге 4, выбрать наименьшее и наибольшее. Это и будут наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке.

41)Выпуклость графика функции. Связь с производной второго порядка.

График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз на интервале (a;b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции называется выпуклым вверх на интервале (a;b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью следующей теоремы.

Теорема: Если функция во всех точках интервала (a;b) имеет отрицательную вторую производную, т.е. , то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же ;b) – график выпуклый вниз.

42) Точки перегиба. Необходимое условие существования точки перегиба.

Точка, в которой функция определена и в которой функция меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба. В окрестности такой точки x₀ график функции y = f (x) слева и справа от точки x₀ имеет разные направления выпуклости.

Теорема (О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция   имеет перегиб в точке  , то   или не существует.

43) Достаточное условие существования точки перегиба.

Точка, в которой функция определена и в которой функция меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Теорема (О достаточном условии существования точки перегиба)

Если:

1. первая производная   непрерывна в окрестности точки  ;

2. вторая производная   или не существует в точке  ;

3.  при переходе через точку   меняет свой знак,

тогда в точке   функция   имеет перегиб.

44) Асимптоты графика функции.

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различают вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты.

Прямая   называется вертикальной асимптотой графика функции  , если хотя бы одно из предельных значений   или   равно   или   .

Прямая   называется горизонтальной асимптотой графика функции  , если хотя бы одно из предельных значений   или   равно   .

Прямая   называется наклонной асимптотой графика функции  , если