35) Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях.

Теорема Ферма. (О равенстве нулю производной)

Пусть функция   удовлетворяет следующим условиям:

1. она дифференцируема на интервале  ;

2. достигает наибольшего или наименьшего значения в точке  .

Тогда производная в этой точке равна нулю, то есть  .

Теорема Ролля. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения)

Пусть функция 

1. непрерывна на отрезке  ;

2. дифференцируема на интервале  ;

3. на концах отрезка   принимает равные значения  .

Тогда на интервале   найдется, по крайней мере, одна точка   , в которой  .

Теорема Лагранжа. (О конечных приращениях)

Пусть функция 

1. непрерывна на отрезке  ;

2. дифференцируема на интервале  .

Тогда на интервале   найдется по крайней мере одна точка   , такая, что

Теорема Коши. (Об отношении конечных приращений двух функций)

Если функции   и  :

1. непрерывны на отрезке  ;

2. дифференцируемы на интервале  ;

3. производная   на интервале  ,

тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка   , такая, что

36) Правила Лопиталя.

Пусть функции   и   удовлетворяют следующим условиям:

1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки  , кроме, может быть, самой точки  ;

2)   и   в этой окрестности;

3)  ;

4)   существует конечный или бесконечный.

Тогда существует и  , причем 

37)Связь между дифференцируемостью и монотонностью функции.

Теорема (Об условии возрастания/убывания монотонной функции)

Если производная функции   на некотором промежутке  , то функция   возрастает на этом промежутке; если же   на промежутке  , то функция   убывает на этом промежутке.

Обратное утверждение формулируется несколько иначе. Если функция возрастает на промежутке, то  или не существует.

38) Экстремумы функции. Определение. Необходимое условие существования экстремума.

Экстремумом функции называется максимальное (минимальное) значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума.

Точка   называется точкой локального максимума функции  , если существует такая окрестность этой точки, что для всех   из этой окрестности выполняется неравенство:  .

Точка   называется точкой локального минимума функции  , если существует такая окрестность этой точки, что для всех   из этой окрестности  .

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками. Точки, в которых функция непрерывна, а её производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими точками.

(Необходимое условие экстремума)

Если функция   имеет экстремум в точке  , то ее производная   либо равна нулю, либо не существует.

39)Первое и второе достаточные условия существования экстремума.

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции   выполнены следующие условия:

1. функция непрерывна в окрестности точки  ;

2.  или   не существует;

3. производная   при переходе через точку   меняет свой знак.

Тогда в точке   функция   имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку   производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку   производная меняет свой знак с плюса на минус.

(Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции   выполнены следующие условия:

1. она непрерывна в окрестности точки  ;

2. первая производная   в точке  ;

3.  в точке   .

Тогда в точке   достигается экстремум, причем, если  , то в точке   функция  имеет минимум; если  , то в точке   функция   достигает максимум.