27) Производные основных элементарных функций.

28)Производные высших порядков.

Если функция   имеет производную в каждой точке   своей области определения, то ее производная   есть функция от  . Функция  , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции   (или второй производной) и обозначают символом  . Для вычисления производной любого порядка от произведения двух функций, минуя последовательное применение формулы вычисления производной от произведения двух функций, применяется формула Лейбница:

29) Дифференциал функции.

Дифференциалом функции называется линейная относительно   часть приращения функции. Она обозначается как   или  . Таким образом:

Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:

Отсюда получаем, что

30) Понятие дифференциала функции.

Дифференциалом функции называется линейная относительно   часть приращения функции. Она обозначается как   или  . Таким образом:

Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:

Отсюда получаем, что

31) Основные теоремы о дифференциалах.

Дифференциалом функции называется линейная относительно   часть приращения функции. Она обозначается как   или  . Таким образом:

Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:

Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пусть у=ƒ(u) и u=φ(х) две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию у=ƒ(φ(х)). По теореме о производной сложной функции можно написать

у'_х=у'_u•u'_x.

Умножив обе части этого равенства на dx, поучаем у'_хdx=у'_u•u'_хdx. Но у'_хdx=dy и u'_хdx=du. Следовательно, последнее равенство можно переписать так:

dy=у'_udu.

32) Таблица дифференциалов.

33) Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Приращение   функции   представимо в виде:

где функция   является б.м. функцией при стремлении аргумента   к нулю. Так как  , то

В силу того, что второе слагаемое   является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому

А так как в нахождении дифференциал значительно проще, чем приращение функции, то данная формула активно используется на практике.

Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:

34) Дифференциалы высших порядков.

Пусть функция   зависит от переменной   и дифференцируема в точке  . Может оказаться, что в точке  дифференциал  , рассматриваемый как функция от  , есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала   данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции  . Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.

Определение

Дифференциалом  -го порядка   функции   называется дифференциал от дифференциала -го порядка этой функции, то есть