22)Уравнение касательной и нормали к кривой.

Касательная прямая - прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой.

Если кривая определена уравнением  , то уравнение касательной к ней в точке   имеет вид:

а уравнение нормали:

23)Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции .

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х₀. Дадим в этой точке аргументу приращение D(х). Функция получит приращение D(у). Найдем  .

.

Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х₀.

Следствие. Если х₀ – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.

Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.

Пример. у=|х| .

24)Производная суммы, разности, произведения и частного функций .

Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

Производная произведения функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x) и v(x) также дифференцируемо и

Производная частного функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле

25) Производная сложной и обратной функций.

Формула сложной функции

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции, умноженной на производную от внутренней функции.

В данной формуле функция   называется внутренней функцией аргумента  , а функция   - внешней функцией.

Таблица производных сложных функций

Если y=f(x) и x=g(y) — пара взаимно обратных функций, и функция y=f(x) имеет производную f'(x), то производная обратной функции g'(x)=1/f'(x).

Таким образом, производные взаимно обратных функций — обратные величины. Формула для производной обратной функции:

  

Примеры. Найти производную обратной функции:

1) y=x²-7lnx.

Имеем:

  

Отсюда

  

26)Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.

Если независимая переменная   и функция   связаны уравнением вида  , которое не разрешено относительно  , то функция   называется неявной функцией переменной  .

Пример:

Всякую явно заданную функцию   можно записать в неявном виде  . Обратно сделать не всегда возможно.

Несмотря на то, что уравнение   не разрешимо относительно  , оказывается возможным найти производную от   по  . В этом случае необходимо продифференцировать обе части заданного уравнения, рассматривая функцию  как функцию от  , а затем из полученного уравнения найти производную  .

Предположим, что функциональная зависимость   от   не задана непосредственно  , а через промежуточную величину —  . Тогда формулы

задают параметрическое представление функции одной переменной.

Пусть функция   задана в параметрической форме, то есть в виде:

где функции   и   определены и непрерывны на некотором интервале изменения параметра  . Найдем дифференциалы от правых и левых частей каждого из равенств:

Далее, разделив второе уравнение на первое, и с учетом того, что  , получим выражение для первой производной функции, заданной параметрически: