18)Точки разрыва функции I-го рода.

Точка  , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

1. функция   определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции   в точке  ;

3. это предел равен значению функции в точке  , т.е. 

называется точкой разрыва функции.

Точка разрыва первого рода

Определение

Если в точке   существуют конечные пределы   и  , такие, что  , то точка   называется точкой разрыва первого рода.

19)Точки разрыва функции II-го рода.

Точка  , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

1. функция   определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции   в точке  ;

3. это предел равен значению функции в точке  , т.е. 

называется точкой разрыва функции.

Если хотя б один из пределов   или   не существует или равен бесконечности, то точка  называется точкой разрыва второго рода.

20 )Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций.

Функция   называется непрерывной в точке  , если:

1. функция   определена в точке   и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции   в точке  ;

3. этот предел равен значению функции в точке  , т.е. 

Теорема 4.1. Сумма конечного числа непрерывных функций, определенных на некотором множестве Х, есть функция непрерывная.

Теорема 4.2. Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

Теорема 4.3. Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная во всех точках, в которых делитель отличен от нуля.

Теорема 4.4. Непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная.

Теорема 4.5. Если y = f(x) непрерывна и строго монотонна на промежутке (а,b) ,  то существует обратная функция х = f(y), определенная на промежутке x < f(a), f(b) >y , причем последняя также монотонна и непрерывна в том же смысле.

Все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях   , для которых они определены. Как известно, элементарной называется функция, которая получена путем применения конечного числа арифметических операций и суперпозиций к основным элементарнымфункциям. Поэтому из вышеприведенных теорем следует, что все элементарные функции, непрерывны в каждой точке, в которой они определены.

21)Производная функции. Определение производной; ее механический и геометрический смысл.

Производной   от функции   в точке   называется предел отношения приращения функции   к приращению аргумента   :    при  , если он существует, то есть:

.

Приращением аргумента называется разность между двумя значениями аргумента: "новым" и "старым".

Обычно обозначается как   .

Приращением функции   в точке  , соответствующее приращению аргумента  , называется величина:

Механический смысл производной: Пусть задан путь   движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени   есть производная от пути   по времени  :

Геометрический смысл производной: Производная функции  , вычисленная при заданном значении  , равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси   и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой  :

Таблица производных