13)Предел функции. Определения. Основные теоремы о пределах.

Число A называется пределом функции f (x) в точке x₀(при x,стремящемся к x₀) , если эта функция определена в некоторой окрестности точки x₀ за исключением, быть может, самой точки x₀, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – x₀| < δ, x ≠ x₀, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Теорема 1.Предел постоянной величины равен самой постоянной:

c = c.

Теорема 2.Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

=   f(x)     φ(x).

Теорема 3.Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

=   f(x)     φ(x).

Теорема 4.Предел дроби равен пределу числителя, деленному на передел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

, 

Теорема (о предельном переходе в равенствах). Если в некоторой окрестности точки   значения функций f(x) и g(x) совпадают, то их пределы в этой точке равны:

f(x)=g(x) =>  .

Теорема ( о предельном переходе в неравенствах). Если в некоторой окрестности точки   выполняется неравенство f(x)≤ g(x), то верно и неравенство:  .

Теорема (о единственности предела). Функция не может иметь более одного предела в данной точке.

14) Бесконечно большая функция (б.Б.В.). Бесконечно малые функции (б.М.В.). Основные теоремы

Определение 1. Функция   называется бесконечно малой (б.м.) функцией при  , если ее предел при  равен нулю.

Определение 2. Функция   называется бесконечно большой (б.б.) функцией при  , если ее предел при  равен +∞ (-∞).

Основные теоремы:

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

Теорема 2. Произведение конечного числа на бесконечно малую величину является величиной бесконечно малой.

Теорема 3. Если величина бесконечно большая величина, то бесконечно малая величина.

Теорема 4. Если функция y=f(x) в точке имеет конечный предел A, то в окресности точки данную функцию можно представить в виде суммы числа A и некоторой бесконечно малой величины.

Теорема 5. При выполнении пределов произведения можно бесконечно малые величины менять на эквивалентные им.

15)Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.

Первый замечательный предел:

Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.

Второй замечательный предел:

, , где e-число Эйлера.

Предел суммы 1 и бесконечно малой величины в степени, ей обратной-бесконечно большой, равен числу e.

16)Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентных величин.

Б.м. функции   и   называются эквивалентными или равносильными б.м.функциям одного порядка при  , если 

Обозначают:   при  .

Таблица эквивалентных б.м. функций при 

17) Непрерывность функций в точке. Основные определения. Непрерывность функции на множестве Определение. Пусть функция у = f(х) определена в точке x₀ и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если для всех ε>0 существует положительное число δ, такое что для всех x из δ–окрестности точки x₀(т.е. |х–x₀|<δ) выполняется неравенство |f(x) – f(x₀) < ε|.

Функция   называется непрерывной в точке  , если:

1. функция   определена в точке   и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции   в точке  ;

3. этот предел равен значению функции в точке  , т.е. 

Функция   , непрерывная во всех точках некоторого множества X, называется непрерывной на этом мно­жестве.

Теорема 1. Сумма и произведение конечного числа непрерывных на некотором множестве функций есть функция, непрерывная на этом множестве.

Доказательство (следует из основных теорем о пределах).

Пусть f(x) и g(x) – непрерывны в точке х₀ , тогда

,    ,

.

Следовательно, функция y=f(x)+g(x) непрерывна в точке х₀.

Доказательство для произведения функций проводится аналогично.

Теорема 2. Частное от деления двух непрерывных на множестве функций есть функция, непрерывная во всех точках, в которых знаменатель отличен от нуля.

Теорема 3 (теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.