96) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
В
дифференциальных уравнениях 
или 
переменные
могут быть разделены, проведением
преобразований. Такие ОДУ
называются дифференциальными
уравнениями с разделяющимися переменными.
Соответствующее ДУ с разделенными
переменными запишется как 
.
Как видим, левая часть уравнения зависит только от x, а правая только от y, то есть переменные разделены.
Левая часть полученного уравнения - дифференциал некоторой функции переменной x, а правая часть - дифференциал некоторой функции переменной y. Для получения решения исходного дифференциального уравнения следует интегрировать обе части уравнения. При этом при разделении переменных не обязательно переносить один его член в правую часть, можно почленно интегрировать без такого переноса.
97) Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение
1. Функция
двух переменных 
называется однородной,
если в результате тождественных
преобразований её можно свести к
некоторой функции одной переменной 
,
то есть, выполнено равенство: 
.
Определение
2. Дифференциальное
уравнение вида 
,
где функция
однородная
функция двух переменных называется однородным
дифференциальным уравнением первого
порядка:
.
Пусть 
, 
, 
−
эта подстановка приводит к решению
однородного дифференциального уравнения.
,
,
,
,
.
98) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
,
(1)
линейное относительно
неизвестной функции 
и
ее производной. Если
в уравнении (1) правая часть 
,
то уравнение
(2)
называется линейным однородным уравнением, которое является уравнением с разделяющимися переменными.
Удобным
способом решения линейных уравнений
является метод
Бернулли. Пусть
дано уравнение (1). Решение этого уравнения
будем искать в виде произведения двух
функций: 
,
где 
, 
.
Подставим решение в исходное уравнение
(3.6):
,
,
.
Найдем
такую функцию 
,
которая бы являлась решением
дифференциального уравнения
.
Тогда решение уравнения (1) будет сведено к решению системы уравнений с разделяющимися переменными
(7)
Заметим, что при решении первого уравнения системы достаточно указать любое частное решение, то есть выбор константы произволен.
99) Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде
F(x,y,y′,y′′)=0,
где F − заданная функция указанных аргументов. Если дифференциальное уравнение можно разрешить относительно второй производной y′′, то его можно представить в следующем явном виде:
y′′=f(x,y,y′).
В частных случаях функция f в правой части может содержать лишь одну или две переменных. Такие неполные уравнения включают в себя 5 различных типов:
y′′=f(x),y′′=f(y),y′′=f(y′),y′′=f(x,y′),y′′=f(y,y′).
С помощью определенных подстановок эти уравнения можно преобразовать в уравнения первого порядка.