84) Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости.

Теорема 1.1 (Теорема Абеля):

если степенной ряд сходится при  , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству  ; если же ряд расходится при , то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству  .

Теорема Абеля дает ясное представление о структуре области сходимости степенного ряда.

Теорема 1.2:

область сходимости степенного ряда совпадает с одним из следующих интервалов:

1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  ,

где R – некоторое неотрицательное действительное число или  .

Число R называется радиусом сходимости, интервал   – интервалом сходимости степенного ряда .

85) Ряды Тейлора и Маклорена.

Рядом Тейлора называется степенной ряд вида  (предполагается, что функция  является бесконечно дифференцируемой).

Рядом Маклорена называется ряд Тейлора при  , то есть ряд  .

86)Разложение в ряд Маклорена функций ln(1+x), cos x.

87) Разложение в ряд Маклорена функций ex , sin X.

88) Применение рядов в приближенных вычислениях.

Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.

Рассмотрим разложение функции в степенной ряд: . Для того, чтобы вычислить приближенное значение функции в заданной точке х, принадлежащей области сходимости указанного ряда, в ее разложении оставляют первые n членов (n – конечное число), а остальные слагаемые отбрасывают: . Для оценки погрешности полученного приближенного значения необходимо оценить отброшенный остаток r_n(x). Для этого применяют следующие приемы:

1. если полученный ряд является знакочередующимся, то используется следующее свойство: для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям Лейбница, остаток ряда по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена.

2. если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

3. в общем случае для оценки остатка ряда Тейлора можно воспользоваться формулой Лагранжа:   (или x<c<a).

Пример 1. Пользуясь разложением в ряд sinx, вычислить sin20^o с точностью до 0,0001. Решение. Чтобы можно было пользоваться формулой (2), необходимо выразить значение аргумента в радианной мере. Получаем  . Подставляя это значение в формулу, получаем

Полученный ряд является знакочередующимся и удовлетворяет условиям Лейбница. Так как  , то этот и все последующие члены ряда можно отбросить, ограничиваясь первыми двумя членами. Таким образом,  .

89) Двойные интегралы. Основные понятия и определения.

Пусть в области D задана непрерывная функция z=f(x,y). Двойным интегралом от функции z=f(x,y) по области D называется предел интегральных сумм

Где - произвольное разбиение области D на элементарные части с мелкостью разбиения .

В частности, при f(x,y)=1 получим формулу для вычисления плоских фигур

.