79) Ряды с положительными членами.
О п р е д е л е н и е. Ряды с положительными членами – это ряды, члены которых не отрицательны.
Рассмотрим
числовой ряд 
,
где 
для
такого ряда 
.
Значит, последовательность частичных
сумм возрастает.
Из теоремы о
пределе монотонной последовательности
можно сформулировать условие
сходимости ряда с положительными
членами.
Ряд с положительными
членами всегда имеет сумму и эта
сумма конечна, а ряд будет сходящимся,
если частичные суммы ряда ограничены
сверху, и бесконечна, а ряд расходящимся в
противном случае.
80) Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
Теорема
1 (признак
сравнения). Если
члены двух числовых рядов 
и 
удовлетворяют
неравенству 
для
любых n,
то из сходимости второго
ряда следует
сходимость первого ряда. Из расходимости
первого ряда следует расходимость
второго ряда.
Пример. Рассмотрим
ряд 
.
Сравним его с гармоническим рядом 
.
, 
.
По признаку сравнения данный ряд расходится.
Теорема 2 (признак Даламбера). Если для числового ряда существует конечный предел отношения последующего члена ряда к предыдущему
, то:
а)
при 
ряд
сходится;
б)
при 
ряд
расходится;
в)
при 
вопрос
о сходимости открыт.
81) Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимости.
Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда.
Знакопеременный ряд
а1+а2+а3+…+ап+… (1)
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
(2)
Если же знакопеременный ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то данный ряд (1) называется условно сходящимся.
82) Признак Лейбница.
Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:
-
Пусть для знакочередующегося ряда
выполняются следующие условия:
(монотонное
убывание {an})
.
Тогда этот ряд сходится.
83) Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда.
Степенным
рядом называется
функциональный ряд вида 
.
Здесь 
–
постоянные вещественные числа,
называемые коэффициентами степенного
ряда; а – некоторое постоянное число,
х – переменная, принимающая значения
из множества действительных чисел.
При 
степенной
ряд принимает вид
.
Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.
Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая теорема.
Теорема 1.1 (Теорема Абеля):
если
степенной ряд сходится при 
,
то он абсолютно сходится при всех
значениях х, удовлетворяющих неравенству 
;
если же ряд расходится при
,
то он расходится при всех значениях х,
удовлетворяющих неравенству 
.
Теорема Абеля дает ясное представление о структуре области сходимости степенного ряда.
Теорема 1.2:
область сходимости степенного ряда совпадает с одним из следующих интервалов:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
,
где
R – некоторое неотрицательное
действительное число или 
.
Число R называется радиусом сходимости, интервал – интервалом сходимости степенного ряда .