67) Приложение определенного интеграла. Вычисление объема тела.

В общем случае, простого определенного интеграла не достаточно, чтобы вычислить объем тела, и для этого используются кратные интегралы. Лишь в некоторых частных случаях для вычисления объема используется простой интеграл.

Самый простой случай – вычисление объема при известной площади сечения. Пусть дано какое-то объемное тело. Если площадь сечения задается функцией S(x), тогда объем этого тела, заключенный между плоскостями x = a и x = b вычисляется с помощью интеграла:

Частным случаем вычисления объема при известной площади сечения является вычисление объема тела вращения. Если некоторая кривая f(x) вращается вокруг оси x, тогда площадь сечения плоскостью x = u данного тела вращения равна площади круга с радиусомf(u), т.е. равна p f ²(u). В результате объем тела вращения, получаемого при вращении f(x) вокруг оси x, и ограниченного плоскостямиx = a и x = b равен :

68) Функции нескольких (двух) переменных. Основные понятия

Определение 1. Закон (правило) по которому каждой паре   независимых переменных ставится в соответствие определенное значение   называется функцией двух переменных.

Например, площадь прямоугольника представляет собой функцию двух переменных.

Замечание. Если паре значений  соответствует одно значение   , то функция называется однозначной. В остальных случаях – многозначной.

Определение 2. Пусть имеется n различных переменных величин, и каждому набору их значений (   соответствует определенное значение переменной величины   . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных   .

Например, объем параллелепипеда – функция трех переменных.

Переменные   называются независимыми переменными, или аргументами, z – зависимой переменной, а символ f означает закон соответствия. Множество X называется областью определения функции. 

Определение 3.Совокупность пар   значений x и y, при которых функция   имеет смысл, называется областью определения функции.

Определение 4. Графиком функции двух переменных   называется множество точек трехмерного пространства   аппликата z которых связана с абсциссой x и ординатой y функциональным соотношением   .

69)Предел функции двух переменных

Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции , аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек М(х;у) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству называется d-окрестностью точки М₀(х₀;у₀). Другими словами, d-окрестность точки М_о — это все внутренние точки круга с центром М_о и радиусом 8 (см. рис. 206).

Пусть функция z = ƒ(х; у) определена в некоторой окрестности точки М₀(х₀;у₀), кроме, быть может, самой этой точки. Число А называется пределом функции z = ƒ (х; у) при х → х₀ и у → у₀ (или, что то же самое, при М(х; у) → М₀(х₀; у₀)), если для любого є > 0 существует d > 0 такое, что для всех х ≠ х₀ и у ≠ у₀ и удовлетворяющих неравенству

 выполняется неравенство | ƒ (х; у) — А| < є. Записывают:

70) Непрерывность функции двух переменных.

Функция z = ƒ(х;у) (или ƒ(М)) называется непрерывной в точке М₀(х₀;у₀), если она:

а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности,

б) имеет предел

в) этот предел равен значению функции z в точке М_о, т. е.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции.