1)Множества. Операции над множествами.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п. Множества обозначаются большими латинскими буквами A, B, C , а элементы множества маленькими латинскими буквами a, b, c. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки. Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит). Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Операции над множествами:

1. Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов. Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

2. Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

3. Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В. Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

4. Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В. Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

5. Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть АΔВ=(АВ)∪(ВА). Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства перестановочности

A∪B=B∪A A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство

(A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

2) Действительные числа и числовая ось.

Действительные (вещественные) числа представляют собой совокупность всех рациональных и иррациональных чисел. Множество вещественных чисел обозначается . Иначе говоря, действительные числа - это бесконечные (периодические и непериодические) десятичные дроби.

Рациональное число – число, представляемое обыкновенной дробью m/n, где числитель m – целое число, а знаменатель n – натуральное число. Любое рациональное число представимо в виде периодической бесконечной десятичной дроби. Множество рациональных чисел обозначается Q.

Если действительное число не является рациональным, то оно иррациональное число. Десятичные дроби, выражающие иррациональные числа бесконечны и не периодичны. Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой I.

Числовая ось – прямая, на которой изображаются действительные числа. Для превращения обычной прямой в числовую ось необходимы:

1. некоторая точка O — начало отсчёта;

2. положительное направление, указанное стрелкой;

3. масштаб для измерения длин.

3) Числовые промежутки. Окрестность точки.

Числовые отрезки, интервалы, полуинтервалы и лучи называют числовыми промежутками.

Неравенство, задающее числовой промежуток	Обозначение числового промежутка	Название числового промежутка
a ≤ x ≤ b	[a; b]	Числовой отрезок
a < x < b	(a; b)	Интервал
a ≤ x < b	[a; b)	Полуинтервал
a < x ≤ b	(a; b]	Полуинтервал
x ≥ a	[a; + ∞)	Числовой луч
x > a	(a; + ∞)	Открытый числовой луч
x ≤ a	(- ∞; a]	Числовой луч
x < a	(- ∞; a)	Открытый числовой луч

Пусть х₀ - любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью точки х₀ называется любой интервал (a; b), содержащий точку х₀, интервал симметричный относительно

называется е-окрестностью точки х₀ (рис. 1.1).