Теорема. Множество подмножеств данного множества по мощности больше самого множества.

Теорема утверждает, что на основе любого множества (конечного или бесконечного) можно построить множество большей мощности и, следовательно, классов эквивалентности бесконечных множеств неограниченное количество.

9. Кардинальные числа. Эквивалентность конечных множеств – основа комбинаторики (Л).

КАРДИНАЛЬНОЕ ЧИСЛО —важное понятие абстрактной теории множеств. Кардинальное число характеризует множество с точки зрения запаса его элементов — мощности множества (это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные). Кардинальное число является обобщением понятия количественного числа на бесконечные множества. Интересным при таком обобщении является то обстоятельство, что одно и то же бесконечное множество можно по-разному упорядочить и в связи с этим кардинальные числа резко отличается от трансфинитных чисел (обобщение понятия порядковых чисел для бесконечных множеств). Для конечных множеств кардинальное число совпадает с трансфинитным числом и равно количеству элементов множества.

Два множества А и В ,между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие,называются эквивалентными.Между элементами х и у множества А установлено отношение эквивалентности ,если оно удовлетворяет свойствам:

1)каждый элемент множества А (х) эквивалентен самому себе.(рефлективность)

2)если элемент х эквив.У,то у экв.х (симметрия ,взаимность)

3)если элемент х эквив.у,то у экв. Z(транзитивность)

Отношение эквивалентности тесно связано с разделением множеств на классы.

Конечное множество — множество, количество элементов которого конечно, то есть, существует неотрицательное целое число k, равное количеству элементов этого множества. В противном случае множество называется бесконечным. Например,

\{2,4,6,8,10\}\,\!

конечное множество из пяти элементов. Число элементов конечного множества это натуральное число и называется мощностью множества.

Что такое эквивалентные множества?

Если множества конечные, то сравнить их по количеству элементов просто, достаточно посчитать элементы в каждом множестве и сравнить полученные значения.

Однако если множества даже конечные, но в них слишком много элементов, то подобный подход не слишком эффективен. Есть другой способ. Надо поставить в соответствие элементам одного множества элементы другого. Если при этом каждый найдет себе пару, то эти множества равны по количеству элементов. Если это окажется не так, то большим будет то множество, где останутся элементы, которым не были сопоставлены элементы из другого множества.

Например, если раздать тетради по математике ученикам класса, то можно сразу узнать, все ли в классе или кто-то отсутствует.

Подобный метод сопоставления подходит не только для конечных множеств, но и для бесконечных.

Особенностью эквивалентных множеств является то, что каждому элементу из одного множества сопоставляется только один элемент из другого множества. При этом нет ситуаций, когда одному элементу из одного множества, сопоставляется два или больше из другого.

Примером эквивалентных множеств может служить множество натуральных чисел, которым сопоставляется множество отрицательных целых чисел.

В случае эквивалентных множеств говорят о взаимно-однозначном соответствии между ними. Эквивалентные множества имеют одинаковую мощность.