7. Соответствие между множествами. Однозначное отображение одного множества на (в) другое. Взаимно однозначное соответствие между множествами.

Между множествами могут устанавливаться различные элементные соответствия. Характер этих соответствий зависит от количества элементов, образующих связи друг с другом. Различают многозначные, однозначные и взаимно однозначные соответствия (отображение).

Говорят, что между множествами А и В задано однозначное соответствие (или функция f), если каждому элементу а множества А поставлен в соответствие элемент в множества В.

Множество А является областью определения D_f функции f, а множество элементов в- множеством ее значений. E_f . Множество E_f является подмножеством множеста В и называется образом отображения А на (в) В. Если образ E_f совпадает с множеством В, то имеется отображение А «на» В, если E_f B , то – отображение А «в» В.

Соответствие между множествами А и В называется взаимно однозначным, если каждому элементу множества А соответствует один и только один элемент множества В, и наоборот.

??(Два множества А и В, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, называются (количественно) эквивалентными АВ.

Введенное определение позволяет устанавливать «количественные»отношения между множествами различной природы(конечными и бесконечными). Например, два числа могут быть равны друг другу , либо одно больше другого. Это отношения на уровне элементарного множества. Среди подобных отношений между элементами множество выделим одно, отношение эквивалентности.)

8. Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества и его свойства. Классы эквивалентных множеств.

Два множества А и В, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, называются (количественно) эквивалентными АВ.

Введенное определение позволяет устанавливать «количественные»отношения между множествами различной природы(конечными и бесконечными). Например, два числа могут быть равны друг другу , либо одно больше другого. Это отношения на уровне элементарного множества. Среди подобных отношений между элементами множество выделим одно, отношение эквивалентности.

Теорема. Всякое отношение эквивалентности между элементами множества А разбивает его на непересекающиеся между собой классы эквивалентности ( свойство 2), объединение которых образует все множество А (свойство 1). Верно и обратное: Любое разбиение множества А на классы А задает на множестве А отношение эквивалентности.

Классом эквивалентности А_х элемента хА называется множество элементов из А эквивалентных х:А_х = {y:yx, yA}. Различные классы не пересекаются, и каждый элемент множества входит хотябы в один из классов.

Мощность множества - характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.

1.Любые два множества, между элементами которых может быть установлено взаимно однозначное соответствие содержат одинаковое количество элементов (имеют одинаковую мощность)

2.Обратно: множества, равные по мощности, должны допускать такое взаимно однозначное соответствие.

3.Часть множества не превосходит полного множества по мощности (то есть по количеству элементов).