1. Понятие множества. Элемент множества. Подмножества. Равенство двух множеств. Пустое множество. Общее множество.

Основы теории множеств были сформулированы немецким математиком Георгом Кантором.

Множеством будет называть совокупность элементов с определенным качеством. Обозначать множества будем прописными А,В,С, а их элементы – строчными a,b,c латинскими буквами.

Элемент х принадлежит множеству А, будем записывать в след. виде: х А, в противом случае хА.

Запись А В (или В А) будет означать, что всякий элемент множествав А является элементом множества В. В этом случае, говорят, что множество А является подмножеством множества В.

В математике вводятся два специальных множества: пустое множество  - не содержит ни одного элемента, и универсальное множество , содержащее все остальные множества в качестве их подмножеств. Два подмножества  и А множества А называются несобственными, все остальные собственными подмножествами множества А.

Множества А и В будем называть равными друг другу А=В, если они будут состоять из одних и тех же элементов. В этом случае каждое из них является подмножеством другого множества: А В и В  А. Если множество А является подмножеством множества В и с ним не совпадает А В, то будем писать строгий знак включения одного множества в другое А В.

Венн предложил условно изобразить универсальное множество в виде точек квадрата на плоскости, тогда все остальные множества, например, А, будут представлять собой часть этого квадрата. (квадрат в нем рисуется круг). Например, взаимное расположение двух множеств A и B можно представить на диаграммах Венна в виде следующих трех вариантов:

-множества не имеют общих элементов или не пересекаются;

- множества имеют общие и не общие элементы, говорят что они находятся в общем положении;

- элементы множества А являются элементами множества В, при этом множество А явл. подмножеством множества В.

2. Действия над множествами. Объединение, пересечение, вычитание и дополнение множеств.

Дополнением А ( до множества ) множества А называется множество элементов a, не принадлежащих множеству А: a A. (

штрихуем все вокруг круга )

Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество (А  В), состоящее из элементов множества А или В. (заштриховываем два кружочка полностью)

Пересечением (произведением) двух множеств А и В называется множество (А В), элементы которого принадлежат и А и В одновременно. (заштриховываем кусочек где они пересекаются)

Вычитанием (разностью) множества В из множества А называется множество (А\ B), элементы которого принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В. ( заштриховываем кружочек А, оставляем без штриховки В и место пересечения)

Ассиметрической разностью множеств А и В (АВ) называется множество состоящее из элементов из (A\ B)  из (B\A) (заштриховываем кружочек А и В без места пересечения).

3. Коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность операций над множествами.

Операции объединения, пересечения, вычитания и дополнения множеств удовлетворяют следующим свойствам:

1.коммутативности операции объединения и пересечения множеств: A  B = BA ; A  B = BA.

2. ассоциативности объединения и пересечения:

A  (B  C) = ( A  B)  C;

A  (B  C) = ( A  B)  C;

3. свойство дистрибутивности операции объединения по отношению к операции пересечения:

A  (B  C) = (A  B)  ( A  C).

Проверить указанные свойства можно с помощью диаграмм Венна, изображая на диаграммах последовательно операции левой и правой частей равенств множеств.

4. Конечные и бесконечные множества. Основные способы задания множеств (Л).

Множеством будет называть совокупность элементов с определенным качеством.

Конечные множества состоят из конечного числа элементов и могут быть записаны перечислением этих элементов в фигурных скобках:

A= {a₁, a₂, …, a_n }, B = {{a,b}, {c}, d}. Заметим, что элементами множества могут быть подмножества другого множества (пример множества В).

Бесконечные множества включают в себя бесконечное число элементов. Записать все элементы перечислительным способом невозможно, поэтому указывают либо начальные значения элементов, либо указывают формулу образования элементов множества.

Простейшее бесконечное множество - множество натуральных чисел N = {1,2,3…}.

Множество целых чисел состоит из множества положительных и отрицательных чисел и нуля : Z = {…,-2,-1,0,1,2,…}.

Множество рациональных чисел состоит из дробей, числитель и знаменатель которых целые числа при этом знаменатель не должен равняться нулю: Q = {r:r= m/n; m,n  Z, n  0}

Множество действительный чисел состоит из множества рациональных и иррациональных чисел: R = {x: - x}.

Множество комплексных чисел обозначается С.

5. Разбиение множества на классы и эквивалентность между элементами множества.

Между элементами x и y множества А установлено отношение эквивалентности х  у, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

1. каждый элемент х множества А эквивалентен самому себе (свойство рефлективности)

2. если элемент х  у, то у  х ( свойство симметрии или взаимности)

3. если элемент х  у и у  z, то х  z (свойство транзитивности)

Отношение эквивалентности тесно связано с понятием разбиение множества на классы.

Говорят, что множество А разбито на классы А, если совокупность множеств А удовлетворяет двум условиям:

1. объединение множеств А совпадает с самим множеством А(А = А) ();

2. различные классы попарно не пересекаются (А  А = , если образующие их элементы не равны ().

Теорема. Всякое отношение эквивалентности между элементами множества А разбивает его на непересекающиеся между собой классы эквивалентности ( свойство 2), объединение которых образует все множество А (свойство 1). Верно и обратное: Любое разбиение множества А на классы А задает на множестве А отношение эквивалентности.

Классом эквивалентности А_х элемента хА называется множество элементов из А эквивалентных х:А_х = {y:yx, yA}. Различные классы не пересекаются, и каждый элемент множества входит хотябы в один из классов.

6. Произведение множеств. Кортежи (Л).

Произведением множеств А и В называется множество А  В, образованное упорядоченной парой элементов а, в , где элемент а принадлежит множеству А, а элемент в – множеству В: АВ = {a,b : a A, b B}.

Это определение является конструктивным правилом построения нового множества ( произведения АВ) на основе произвольных исходных множествах А и В, при этом порядок выбора элементов строго определен: на первое место пары a,b ставится элемент а множества А и на второе – элемент b множества В.

Произведение двух множеств легко распространяется на произведение n множеств А₁ , А₂ , …, А_n: А₁  А₂ ,…, А_n = {<a₁,a₂,…,a_n>: a₁  A₁ , a₂  A₂ ,…,a_nA_n}.

Образующийся при таком построении элемент новой природы <a,b> or <a₁,a₂,…,a_n> называется кортежем.

В элементарной математике числовой прямой называется прямая R с тремя атрибутами: началом отсчета, масштабом и направлением, указывающим положение неотрицательных чисел относительно нуля (начало отсчета). С точки зрения общей теории множеств превращение геометрического объекта (прямая) в числовую прямую означает построение взаимно однозначного соответствия между множеством чисел (элементы алгебры) и множество точек на прямой (элементы геометрии).

Число х, соответствующее точке А называется координатой этой точки и записывается А(х).

Произведение R*R=R^{2 (}условно записывают эр в квадрате) двух числовых прямых обозначатся R² в соответствии с приведенным определением является плоскостью с декартовой системой координат (горизонтальной осью абсцисс и вертикальной ординат). Каждая точка плоскости А имеет свои кооринаты (х,у) и записывается А(х,у). При этом специальные скобки кортежа заменяются на привычные круглые скобки. Аналогичная замена происходит с векторами на плоскости. И координаты для различения вектора, как специального кортежа, и точки заключаются в фигурные скобки {x,y}.

Произведение двух числовых прямых легко распространяется на случай n числовых прямых Rⁿ . В этом случае образуется n – мерное пространство, координаты точек и векторов в котором обозначаются соответственно: (x₁ , x₂ ,…, x_n ) и { x₁ , x₂ ,…, x_n}.