1. Примем кубическую параболу :

После соответствующих математических преобразований получаем окончательное выражение для переменной вдоль пространственных координат жесткости пластинки в следующем виде:

Где R(W) представляет собой квадратичную функцию прогиба пластинки, которая выражается следующим образом:

Полученные ранее выражения для переменной жесткости, квадратичной функции и уравнение изгиба пластинки из нелинейно-деформируемого материала необходимо привести к безразмерному виду.

Квадратичная функция прогиба пластинки в безразмерном виде выглядит следующим образом:

Переменная вдоль пространственных координат жесткость пластинки в безразмерном виде выражается следующим образом:

Переменная по длине пластинки жесткость в безразмерном виде:

При использовании коэффициентов заменяющих размерные координаты на безразмерные получим нелинейное дифференциальное уравнение изгиба пластинки из нелинейно-деформируемого материала в безразмерном виде:

где .

Первая производная от переменной жесткости пластинки по безразмерным пространственным координатам:

Вторая производная от переменной жесткости пластинки по безразмерным пространственным координатам:

Смешанная производная от переменной жесткости пластинки по безразмерным пространственным координатам:

Используя полученные выше выражения для производных от переменной жесткости запишем в требуемом виде уравнение метода переменных параметров упругости И.А. Биргера с расстановкой счетчиков итерационного процесса.

Расставив счетчики итерационного процесса в приведенном выше уравнении приведем выражения для переменной жесткости к удобному виду:

Сокращенная запись: .

Как видно из уравнения метода ППУ И.А. Биргера выражение для переменной вдоль пространственных координат жесткости пластинки в итерационном процессе будет отставать от искомого выражения для прогиба.

Выражения для переменной жесткости и ее производных:

Первая производная:

Вторая производная:

Смешанная производная:

Где квадратичная функция прогиба выглядит следующим образом:

При решении задачи в первом приближении (полагая n=1) решается задача расчета пластинки из линейно-упругого материала: . Решению этого уравнения соответствует точка пересечения касательной к нелинейной зависимости p-u в начале координат с горизонтальной прямой p_расч=const. Это решение считаем начальным приближением решаемой задачи. Для получения решения нелинейной задачи строится следующий итерационный процесс.

Имея величину прогиба u₁(ξ,η) можно определить скорректированную жесткость и, соответственно, ее производные .

Затем решается уравнение вида:

решение которого позволяет определить уточненное значение прогиба u₂(ξ,η).

Следовательно, на каждой итерации переменная жесткость нам известна, что позволяет проводить расчеты с произвольной диаграммой деформирования. Полагая далее n равным трем, четырем и так далее, получим все более точные приближения решаемой задачи.

Итерационный процесс заканчивается при достижении требуемой точности вычислений, определяемой относительной разницей между результатами двух соседних приближений решения, а именно:

Уравнения метода ППУ И.А. Биргера, хоть и линейные, имеют переменные коэффициенты довольно общего вида, поэтому возникает проблема их численной реализации. Поступим также, как мы поступили в методе упругих решений, а именно: будем решать на каждой итерации уравнение метода Бубнова-Галеркина в первом приближении.

В качестве выражения аппроксимирующего прогиб принимаем функцию полученную статическим методом В.З. Власова:

Уравнение метода Бубнова-Галеркина в сочетании с итерационным методом переменных параметров упругости И.А. Биргера:

Приведем полученное выше уравнение к удобному виду:

Определенные интегралы стоящие после искомых обобщенных координат обозначим как числовые коэффициенты:

Где коэффициенты полученного выше уравнения выглядят следующим образом:

Квадратичная функция прогиба:

Бигармонический оператор Лапласа:

Приведение коэффициента f₂ к упрощенному виду:

Численная реализация полученных аналитических выражений

Исходные данные для пластинки:

Функция аппроксимирующая прогиб пластинки:

Определение обобщенной координаты K:

коэффициенты в данном уравнении выглядят следующим образом:

Приведение коэффициента f₂ к упрощенному виду:

Дополнительные сведения:

Решение задачи изгиба пластинки из нелинейно-деформируемого материала методом Бубнова-Галеркина в инкрементальной форме метода последовательных нагружений

Основное инкрементальное дифференциальное уравнение изгиба пластинки из нелинейно-деформируемого материала выглядит следующим образом:

В развернутом виде:

где переменная вдоль пространственных координат жесткость пластинки вычисляется по формуле:

неизвестным в уравнении для изгиба пластинки из нелинейно-деформируемого материала является приращение прогиба Δw.

Так как касательный модуль Е_k есть функция деформаций, которые, в свою очередь, выражаются через известный нам из предыдущих этапов нагружения накопленный прогиб пластинки W, то вычисление Е_k не представляет большого труда. Необходимо помнить, что жесткость пластинки изменяется вдоль её пространственных координат. Необходимые для решения уравнения граничные условия формулируются в приращениях прогиба.

Как и в предыдущих методах, расчет начинается с построения функции, аппроксимирующей диаграмму деформирования материала пластинки, то есть с записи аналитического выражения .

Аналитическая запись диаграммы деформирования необходима для вычисления интеграла вида:

И записи переменной жесткости в виде аналитической функции . Таким образом, для расчета пластинки необходимо решить обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами при заданных граничных условиях.

Расчет следует начинать с построения (выбора) аналитической функции, аппроксимирующей диаграмму деформирования материала балки (Построение (выбор) данной функции необходим для получения аналитического выражения касательного модуля). В данном случае аппроксимируем кривую деформирования кубической параболой , в результате чего выражение принимает следующий вид:

Минуя математические преобразования получаем окончательное выражение для переменной вдоль пространственных координат жесткости пластинки в следующем виде:

Где R(W) представляет собой квадратичную функцию прогиба пластинки, которая выражается следующим образом: