Понятие корреляционного анализа

Корреляционный анализ является разделом математической статистики, посвященный изучению взаимосвязей между случайными величинами. Он применяется тогда, когда данные наблюдений можно считать случайными и выбранными из генеральной совокупности, распределенной по многомерному нормальному закону.

Корреляционный анализ заключается в количественном определении тесноты связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи)

Понятие корреляции

Различают следующие варианты корреляций:

Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции. Построение коэффициентов корреляции основано на сумме произведений отклонений индивидуальных значений признаков и от их средних значений и : Эта величина, деленная на число единиц совокупности n, называется ковариацией. Она характеризует сопряжённость вариации двух признаков и представляет собой статистическую меру взаимодействия двух случайных переменных.

Формула определения ковариации

При наличии прямой связи большие значения x должны сочетаться с большими значениями y, и следовательно, отклонения и будут положительными.

Для малых значений x и y эти отклонения будут отрицательными, а их произведения – положительными. Следовательно, при прямой связи ковариация будет величиной положительной.

При наличии обратной связи отклонения и будут иметь разные знаки (большие значения x сочетаются с меньшими значениями y и наоборот). Ковариация будет отрицательной величиной.

Наконец, при отсутствии связи сочетание знаков отклонений и будет беспорядочным, при суммировании отрицательные и положительные произведения и будут взаимно погашаться и ковариация будет близка к нулю.

Размер ковариации зависит от масштаба признаков x и y. Для получения относительной характеристики связи ковариацию делят на максимально возможное значение, равное произведению средних квадратических отклонений двух признаков . В результате получим линейный коэффициент корреляции:

Формула определения линейного коэффициента корреляции

Для расчета линейного (парного) коэффициента корреляции можно воспользоваться также следующими формулами:

1) ,

где - средняя арифметическая произведения двух величин. Определяется по формуле: .

2) ;

3) .

Коэффициент корреляции принимает значение от –1 до +1. Положительное значение коэффициента свидетельствует о наличии прямой связи, отрицательное – обратной. Если 1 корреляционная связь представляется линейной функциональной зависимостью. При линейная корреляционная связь отсутствует

Коэффициенты корреляции, как статистические величины подвергаются в анализе оценке на достоверность. Это объясняется тем, что любая совокупность наблюдений представляет собой некоторую выборку и, следовательно, значение любого показателя, вычисленное на основе выборки, не может рассматриваться как истинное, а является только более или менее точной его оценкой. Следовательно, возникает необходимость проверки существенности (значимости) показателей.

Для оценки значимости коэффициента корреляции используют t- критерий Стьюдента (t-статистика), который применяется при t-распределении, отличном от нормального. При этом выдвигается и проверяется нулевая гипотеза ( ) о равенстве нулю, т.е. . Если нулевая гипотеза отвергается, то коэффициент корреляции признается значимым, а связь между переменными существенной.