Эти утверждения называются теоремой о функциональной полноте.

10. Многочлены Жегалкина

Согласно сформулированным утверждениям, можно говорить, что система булевых функций полна. Тогда любую булеву функцию можно представить в виде многочлена от своих переменных и такой многочлен называется многочленом Жегалкина.

Многочленом Жегалкина называется многочлен, являющийся сум­мой константы и различных одночленов, в которые каждая из перемен­ных входит не выше, чем в первой степени.

Многочлен Жегалкина константы равен самой же константе; мно­гочлен Жегалкина булевой функции одной переменной f(x) = ао © а\х; многочлен Жегалкина булевой функции двух переменных

f(x 1, х₂) = а₀ © а\Х\ © а₂Х2 © ai₂(xi А х₂);

многочлен Жегалкина булевой функции трех переменных

f(xi,x₂,x₃) = а₀ © а\Х\ © а₂х₂ © а₃х₃©

© ai₂(xi А х₂) © ai₃(xi А х₃) © а₂₃(х₂ А х₃) © ai₂₃(xi А х₂ А х₃)

и т. д. Коэффициенты и свободный член ао принимают значения О

или 1, а число слагаемых в формуле равно 2^п, где п — число переменных. Знак © — сумма Жегалкина или сумма по модулю два.

С

Теорема 3 (Жегалкина). Каждая булева функция f(xi,x₂, ...,х_п) может быть представлена в виде многочлена Жегалкина и притом единственным образом, с точностью до порядка слагаемых.

формулируем алгоритм построения многочлена Жегалкина.

Выше было указано, что любую функцию, отличную от константы О, можно представить в виде СДНФ. Если сравним таблицы истинности дизъюнкции и суммы по модулю два, видим, что они отличаются только последней строкой, т. е. на наборе 11. Так как в СДНФ на каждом наборе только одна конъюнкция равна 1, то все дизъюнкции можно заменить суммами по модулю два. Кроме того, известно, что х = х ® 1. На этом и основан первый алгоритм построения многочлена Жегалкина:

1. Находим множество тех двоичных наборов, на которых функция принимает значение 1.

2. Составляем СДНФ.

3. В СДНФ каждый знак дизъюнкции меняем на знак суммы Жегал­кина.

4. Упрощаем, если можно, полученное выражение, используя тожде­ство Х~1 © Xi = 1.

5. В полученной формуле каждое отрицание xl заменяем на x_L Ф 1.

6. Раскрываем скобки в полученной формуле, содержащей только функции А и © и константу 1.

7. Приводим подобные члены, используя тождество х₍; Ф х,- = 0.

Используя метод неопределенных коэффициентов, получаем второй

алгоритм определения многочлена Жегалкина:

1. Составляем систему линейных уравнений относительно 2^п неиз­вестных коэффициентов, содержащую 2^п уравнений, решением которой являются коэффициенты ао, а\, многочлена Жегалкина.

Многочлен Жегалкина называется нелинейным, если он содержит конъюнкции переменных, а если он не содержит конъюнкции перемен­ных, то он называется линейным.

Функция f(x 1, Х2,.. -, х_п) называется линейной, если ее многочлен Же­галкина имеет вид ао ©aiXi ф.. ,фа„х„, и нелинейной в противном случае.

Из определения многочлена Жегалкина следует, что для любой буле­вой функции коэффициенты при переменных xi, х₂,..., х_п и свободный член вычисляются по формулам:

а₀ = ДО,...,0), а\ = ДО,..., 0) © f(l,..., 0), а₂ =Я0,...,0)ФЯ0,1,...,0),

а„ = /(0,...,0)®/(0,...,1).

На этом основан алгоритм определения линейности (или нелинейно­сти) булевой функции.

1. По таблицам истинности булевой функции Дхi, х₂,..., х„) и выше указанным формулам находим коэффициенты: (ао, а\, ...,а_п).

2. Выписываем многочлен Ф(х!,..., х_п) = ао © а\Х\ © ... © а_пх_п и про­веряем, задает ли он эту функцию. Для этого строим таблицу истинности многочлена Ф(лл, Х2,..., х_п) и сравниваем ее с таблицей истинности функ­ции f(xi,x₂, ...,х_п).

Если таблицы истинности совпадают, то функция f(x±, x<i,..., х„) ли­нейная и Ф(Х1, Х‘2, .., х_п) — ее многочлен Жегалкина. В противном случае функция нелинейная.