Элементы математической логики

6. Булевы функции

Булева функция, или функция алгебры логики, является одним из основных объектов дискретной математики.

Булевы функции названы в честь Дж. Буля, положившего начало применению математики в логике.

Функцию f(x 1, Х2,х_п), принимающую одно из двух значений 0 или 1, от п переменных, каждая из которых принимает одно из двух значений О или 1, будем называть булевой функцией f(x\, Х2, ...,х_п) от п перемен­ных.

Булева функция от п переменных сопоставляет каждому упорядо­ченному набору (кортежу), составленному из п элементов, 0 и 1, либо 1, либо 0.

Две булевы функции называются равными, если для любых одинако­вых наборов значений переменных обе функции принимают одинаковые значения. Булевых функций одной переменной четыре, а двух перемен­ных — шестнадцать и т. д. Число булевых функций от п переменных равно 2²".

Рассмотрим функции одной и двух переменных, которые называются «элементарными» функциями и с помощью которых можно определить функции большего количества переменных.

Рассмотрим таблицы истинности таких функций.

Таблица истинности булевой функции одной переменной:

X	fl(x)	/г(х)	fs(x)	h(x)
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Функции f\(x) и fi(x)) называются константами — соответственно 0

и 1.

Функция f2(x) совпадает с переменной х и называется тождественной f₂(x) = х:

Функция fs(x) принимает значения, противоположные значениям ар­гумента х, и называется отрицанием х, обозначается х: fs(x) = х. Таблица истинности булевой функции двух переменных:

Xl	X2	fl	f2	h	/4	/5	/6	/7	h	/9	/10	/11	fl2	/13	/14	/15	/16
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

Следует отметить, что здесь к функциям двух переменных относятся и такие, которые в действительности зависят от одной переменной.

1. Функции fi и /к; представляют собой константы 0 и 1.

2. Функции /4, /б> /и, Аз существенно зависят только от одной пере­менной: /4 = /б = х₂, fn = Х2, fl3 = *1-

3. Остальные функции существенно зависят от двух переменных, и для них есть названия и обозначения:

а) функция /2 = Л ^2 и называется конъюнкцией,

б) функция fs = х 1 V Х2 и называется дизъюнкцией,

в) функция /ю = xi Х2 и называется эквивалентностью,

г) функция /V = xi © Х2 и называется суммой по модулю два, или суммой Жегалкина,

д) функция fi2 = Х2 xi и называется конверсией,

е) функция fi4 = xi —> Х2 и называется импликацией,

ж) функция /15 = xi | Х2 и называется штрих Шеффера,

з) функция /9 = Xi I Х2 и называется стрелкой Пирса,

и) функции /з и /5 логически несовместимы с импликацией и конвер­сией и называются функциями запрета.

7. Свойства элементарных булевых функций

Для булевых функций справедливы равенства, аналогичные форму­лам, сформулированным для высказываний.

1. Функции: конъюнкция, дизъюнкция, сумма по модулю два, стрел­ка Пирса, штрих Шеффера обладают свойством коммутативности.

2. Функции: конъюнкция, дизъюнкция, сумма по модулю два обла­дают свойством ассоциативности и свойством дистрибутивности.

3. Закон де Моргана: xi A Х2 = xj V Х2; х\ V Х2 = хГ А Х2.

4. Закон двойного отрицания: х = х.

5. Выражение дизъюнкции через конъюнкцию и суммы по модулю два: xi V х₂ = xi А х₂ © х₂ © xi.

6. Выражение дизъюнкции через импликацию:

(XI -> х₂) -> х₂ = XI V х₂.

7. Выражение отрицания через штрих Шеффера, стрелку Пирса, сум­му по модулю два и эквивалентность: х|х = х4х = х = х©1 = х-е^0.

8. Выражение конъюнкции через штрих Шеффера:

(xi | х₂) | (xi | х₂) = xi А х₂.

9. Выражение дизъюнкции через стрелку Пирса:

(xi I х₂) { (xi I х₂) = xi V х₂.

10. Закон поглощения: Xi A х₂ V х\ = xi; х\ A (xi V х₂) = xi.

11. Закон склеивания: xVx = x©x = l.

12. Д

    х Л х = х х Л х = О х Л 0 = О х Л 1 = х

    х V х = х х V х = 1 х V 0 = х х V 1 = 1

    х © х = 0; х © х = 1; х © 0 = х; х ф 1 = х.

    ля функций: конъюнкция, дизъюнкция и сумма по модулю два справедливы следующие тождества:

13. Для функций конъюнкция и дизъюнкция справедливы тожде­ства: Xi V XT Л Х2 = X] V Х2; Xi А (Х2 V Xi) = Xi Л Х2.

Для доказательства справедливости любых из приведенных тождеств нужно составить таблицы истинности для булевых функций.

Булеву функцию любого числа переменных можно задать формулой, содержащей функции одной и двух переменных посредством подстановки одних булевых функций вместо переменных в другие булевы функции, т. е. посредством суперпозиции булевых функций.

8. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы алгебры высказываний

Конъюнктивным одночленом от переменных х\, Х2,..., х_п называется конъюнкция этих переменных или их отрицаний.

Дизъюнктивным одночленом от переменных xi, Х2,..., х„ называется дизъюнкция этих переменных или их отрицаний.

Формула, равносильная данной формуле алгебры высказываний и являющаяся дизъюнкцией элементарных конъюнктивных одночленов, называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) данной фор­мулы.

Например: (xi Л Х2 А хз) V (xi Л Х2) V (хз Л хг) V хз — ДНФ.

Формула, равносильная данной формуле алгебры высказываний и являющаяся конъюнкцией элементарных дизъюнктивных одночленов, называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ) данной фор­мулы.

Например: (хГ у Х2 V хз) Л (xi V хз) Л Х2 — КНФ.

Для каждой формулы алгебры высказываний можно найти множе­ство дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм.

Алгоритм построения

1. Избавиться от всех логических операций, содержащихся в фор­муле, заменив их основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя равносильные формулы:

-> х₂ = хТ V х₂; xi х₂ = Cxf V х₂) Л (xi V х^); xi х₂ = (xi л х₂) V (хГ л ici).

2. Заменить знак отрицания, относящийся к выражениям типа Xi Л х₂ или Xi V х₂, знаками отрицания, относящимися к отдельным пе­ременным высказываниям на основании формул:

Xi V х₂ = хГ Л Хг; Xi Л х₂ = Xt V х>Г.

3. Избавиться от знаков двойного отрицания.

4. Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

9. Совершенная дизъюнктивная и совершенная конъюнктивная нормальные формы

Любая булева функция может иметь много представлений в виде ДНФ и КНФ. Особое место среди этих представлений занимают совершенные ДНФ (СДНФ) и совершенные КНФ (СКНФ).

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — это ДНФ, в которой в каждый конъюнктивный одночлен каждая переменная х* из набора /(х 1, х₂,..., х_п) входит ровно один раз, причем входит либо сама х_г, либо ее отрицание х].

Конструктивно СДНФ для каждой формулы алгебры высказываний, приведенной к ДНФ, можно определить так:

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) формулы алгебры высказываний называется ее ДНФ, обладающая следующими свойствами:

1. ДНФ не содержит двух одинаковых конъюнкций.

2. Ни одна конъюнкция не содержит одновременно двух одинаковых переменных.

3. Ни одна конъюнкция не содержит одновременно некоторую пере­менную и ее отрицание.

4. Каждая конъюнкция содержит либо переменную х_г , либо ее отри­цание xj для всех переменных, входящих в формулу.

Конструктивно СКНФ для каждой формулы алгебры высказываний, приведенной к КНФ, можно определить так:

Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) данной формулы алгебры высказываний называется такая ее КНФ, которая удо­влетворяет следующим свойствам:

1. КНФ не содержит двух одинаковых дизъюнкций.

2. Ни одна из дизъюнкций не содержит одновременно двух одинако­вых переменных.

3. Ни одна из дизъюнкций не содержит одновременно некоторую пе­ременную и ее отрицание.

4. Каждая дизъюнкция СКНФ содержит либо переменную х_г, либо ее отрицание х* для всех переменных, входящих в формулу.

Теорема 1. Произвольную булеву функцию f(xi,x₂, ...,х„) можно задать формулой f(x i,x₂, = V(*? ^Л*2^{2 л} ••• л К" )< где дизъюнкция берется по

всемt = где Дт) = 1и

С

х_;, если т = 0, Xj, если х = 1.

Теорема 2. Произвольную булеву функцию Дх_ь х₂,..., х„) можно задать формулой f(xi,x₂,...,х_п) = A(xj^l VXg² v... V х^т_п"), где конъюнкция берется по всем х = (хГ, Ч, •••,^). где /(х) = 0 и

{

х/, если х = 0, х7, еслих = 1.

формулируем следующие теоремы:

Эти формулы называются соответственно совершенной дизъюнктив­ной нормальной формой или совершенной конъюнктивной нормальной формой булевой функции f(x\,x₂, ...,х_п). Исходя из таблицы истинно­сти булевой функции, можно построить СДНФ функции: для каждого набора т = (xi,T2, ...,т_ге), такого, что /(х) = 1, составляется конъюнкция xj¹ Л х| А ... Л х][', а затем все эти конъюнкции соединяем знаком дизъ­юнкции.

Для построения СКНФ функции выписываем наборы х = (тГ, Т2,..., %п) такие, что f(т) = 0. Для такого набора составляется дизъюнкция

х^¹ vXg² v ... vx^x;,

а затем все такие дизъюнкции соединяют знаком конъюнкции.

Приведенные формулы позволяют сформулировать следующие утверждения:

1. Каждая булева функция от п переменных, отличная от константы 0, имеет единственную СДНФ.

2. Каждая булева функция от п переменных, отличная от константы 1, имеет единственную СКНФ.